Лабораторная работа: Линейное уравнение регрессии

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Лабораторная работа

по дисциплине "Эконометрика"

Брянск 2010

Задание

В таблице 1 представлены данные о рынке строящегося жилья в Санкт-Петербурге (по состоянию на декабрь 1996г.).

Таблица 1 – Исходные данные

Принятые в таблице обозначения:

Y – цена квартиры, тыс.долл.;

Х1 – число комнат в квартире;

Х2 – район города (1 – Приморский, Шувалово-Озерки, 2 – Гражданка, 3 – Юго-запад, 4 - Красносельский);

Х3 – общая площадь квартиры (м² );

Х4 – жилая площадь квартиры (м² );

Х5 – площадь кухни (м² );

Х6 – тип дома (1 – кирпичный, 0 - другой);

Х7 – наличие балкона (1 – есть, 0 - нет);

Х8 – число месяцев до окончания срока строительства.

1) Введите фиктивную переменную z, отражающую местоположение квартиры и позволяющую разделить всю совокупность квартир на две группы: квартиры на севере города (Приморский район, Шувалово-Озерки, Гражданка) и на юге города (Юго-запад, Красносельский район).

2) Составьте матрицу парных коэффициентов корреляции исходных переменных. Вместо переменной х₂ используйте фиктивную переменную z.

3) Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов в линейной форме. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.

4) Постройте модель у = f(х₃ , х₆ , х₇ , х₈ , z) в линейной форме. Какие факторы значимо воздействуют на формирование цены квартиры в этой модели?

5) Существует ли разница в ценах на квартиры, расположенных в северной и южной частях Санкт-Петербурга?

6) Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия Стьюдента; нулевую гипотезу о значимости уравнения регрессии проверьте с помощью F-критерия Фишера; оцените качество уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R² .

Решение

1) Введем фиктивную переменную Z вместо Х2, отражающую местоположение квартиры и позволяющую разделить всю совокупность квартир на две группы. Первые 47 квартир относятся к северной части города (Приморский район, Шувалово-Озерки, Гражданка), а оставшиеся 22 квартиры относятся к южной части города (Юго-запад, Красносельский район). Составим матрицу парных коэффициентов корреляции исходных переменных.

2) Проведем корреляционный анализ на выявление зависимости Y от представленных факторов в среде "СтатЭксперт".

Протокол корреляционного анализа

Главная цель анализа данных состоит в выявлении корреляционной связи зависимой переменной Y с независимыми переменными Х_i , а также выявление независимых переменных, имеющих высокий уровень корреляции между собой.

Критическое значение коэффициента корреляции r_кр = 0,2002. Это означает, что все коэффициенты корреляции, значения которых меньше r_кр принимаются равными нулю, а связь между этими параметрами считается незначимой.

Влияние независимой переменной Х₃ , Х₄ , включенной в исследование, имеет высокий уровень (r > 0,7), причем это влияние положительно (r_ух3 = 0,872, r_ух4 = 0,917).

Х₅ оказывает умеренное положительное влияние на величину Y (r_ух5 = 0,303).

Х₁ , Х₂ , Х₆ , Х₇ , Х₈ не оказывают влияния на величину Y (r_ух2 = 0,010, r_ух6 = = -0,104, r_ух7 = 0,119, r_ух8 = -0,005).

3) Построим уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех факторов, в линейной форме.

Линейная регрессия

Уравнение будет иметь вид:

у(х) = -0,505 – 0,966х₁ + 0,824х₂ + 0,390х₃ + 0,191х₄ + 0,091х₅ + 5,835х₆ + 1,244х₇ – 0,011х₈

Линейная или близкая к ней связь между факторами называется мультиколлинеарностью. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0,7.

Рассмотрим матрицу парных коэффициентов корреляции между факторами Х_j , включенными в дальнейшем анализ.

Матрица парных корреляций

Явление сильной коллинеарности наблюдается между факторами:

Х₁ и Х₃ , т.к. r_х1х3 = 0,872 > 0,7

Х₁ и Х₄ , т.к. r_х1х4 = 0,917 > 0,7

Х₃ и Х₄ , т.к. r_х3х4 = 0,966 > 0,7

4) Построим модель у = f (х₃ , х₆ , х₇ , х₈ , z) в линейной форме.

Результаты регрессионного анализа

Модель в линейной форме будет иметь вид:

у(х) = -5,64 + 0,715х₂ + 0,475х₃ + 6,786х₆ + 1,284х₇ – 0,037х₈

Х₆ (тип дома), значимо воздействует на формирование цены квартиры в модели.

5) Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения регрессии проверим с помощью F-критерия; оценим качество уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации R² .

Характеристика остатков линейной регрессии

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 99,1% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Табличное значение F-критерия (F_крит ) при доверительной вероятности 0,95 при n₁ = 8 и n₂ = 58 составляет 2,10. Проверка гипотезы о значимости уравнения регрессии проводится на основании:

если F_факт > F_крит , то модель статистически значима;

если F_факт < F_крит , то модель статистически незначима.

F_факт > F_крит , значит модель статистически значима, т.е. пригодна к использованию.

Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии.

Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степени свободы k = 69-8-1 = 60 составляет 2,0003.

Если t_расч > t_табл , то коэффициент статистически значим.

Характеристика модели

t_{b 0} = 3,2687 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

t_{b 1} = 0,1498 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

t_{b 2} = 2,2212 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

t_{b 3} = 3,9654 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

t_{b 4} = 1,1151 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

t_{b 5} = 0,9069 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

t_{b 6} = 7,9759 > 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически значим;

t_{b 7} = 1,5814 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

t_{b 7} = 0,6630 < 2,0003 => коэффициент регрессии b0 статистически незначим;

6) существует ли разница в ценах на квартиры, расположенных в северной и южной частях Санкт-Петербурга?

t_{b 2} = 2,2212 > 2,0003, t_{b 3} = 3,9654 > 2,0003 и t_{b 6} = 7,9759 > 2,0003,

значит факторы Х2 (район города), Х3 (общая площадь квартиры) и Х6 (тип дома) значимо влияют на формирование цен на квартиры.

Анализ показал, что разница в ценах на квартиры, расположенные в северной и южной частях Санкт-Петербурга существенна, т.к. t_{b 2} = 2,2212 > 2,0003.