| НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ВОЛГОГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА"
Кафедра
Математики и естественных наук
Домашняя контрольная работа
Дисциплина
Эконометрика
Тема: Линейные уравнения парной регрессии
Студента (ки)
Иванова Ивана Ивановича
Волгоград 2010
Задача№ 1
По данным приведенным в таблице:
1) построить линейное уравнение парной регрессии y на x;
2) рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и оценить тесноту связи;
3) оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции, используя F-статистику, t-статистику Стьюдента и путем расчета доверительных интервалов каждого из показателей;
4) вычислить прогнозное значение y при прогнозном значении x, составляющем 108% от среднего уровня.
5) оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал;
6) полученные результаты изобразить графически и привести экономическое обоснование.
Таблица №1
По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.
| Район
|
Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс.руб., y
|
Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс.руб., х
|
| Брянская обл.
|
240
|
178
|
| Владимирская обл.
|
226
|
202
|
| Ивановская обл.
|
221
|
197
|
| Калужская обл.
|
226
|
201
|
| Костромская обл.
|
220
|
189
|
| Московская обл.
|
237
|
215
|
| Орловская обл.
|
232
|
166
|
| Рязанская обл.
|
215
|
199
|
| Смоленская обл.
|
220
|
180
|
| Тульская обл.
|
231
|
186
|
| Ярославская обл.
|
229
|
250
|
| xi
|
178
|
202
|
197
|
201
|
189
|
215
|
166
|
199
|
180
|
186
|
250
|
| yi
|
240
|
226
|
221
|
226
|
220
|
237
|
232
|
215
|
220
|
231
|
229
|
| Х
|
Y
|
| 178
|
240
|
| 202
|
226
|
| 197
|
221
|
| 201
|
226
|
| 189
|
220
|
| 215
|
237
|
| 166
|
232
|
| 199
|
215
|
| 180
|
220
|
| 186
|
231
|
| 250
|
229
|
Вывод 1.
Анализ корреляционного поля данных показывает, что между признаками  и  в выборочной совокупности существует прямая и достаточно тесная связь. Предполагается, что объясняемая переменная линейно зависит от фактора , поэтому уравнение регрессии будем искать в виде
 ,
Таблица № 4 Параметры (коэффициенты) уравнения регрессии
| |
Коэффициенты
|
| Y-пересечение
|
227,7117993
|
| Переменная X 1
|
-0,003619876
|
На основании этих данных запишем уравнение регрессии:  .
Коэффициент  называется выборочным коэффициентом регрессии  Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу.
Таблица №5. Корреляционная матрица
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Зарегистрироваться и Начать продвижение
| |
Столбец 1
|
Столбец 2
|
| Столбец 1
|
1
|
|
| Столбец 2
|
-0,010473453
|
1
|
Для оценки качества уравнения регрессии в целом необходимо проверить статистическую значимость индекса детерминации: проверяется нулевая гипотеза  , используется  .
Таблица №6
| Регрессионная статистика
|
| R-квадрат
|
|
0,000109693
|
 .
Т.к. Значение детерминации
R-квадрат имеет малое значение, которое менее 1%, то дальнейшее решение не имеет смысла, т.к. вероятность того что прогноз будет верным меньше 1%.
Задача №2
Используя данные, приведенные в таблице: построить линейное уравнение множественной регрессии;
1) оценить значимость параметров данного уравнения и построить доверительные интервалы для каждого из параметров, оценить значимость уравнения в целом, пояснить экономический смысл полученных результатов;
2) рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной детерминации, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними;
3) вычислить прогнозное значение y при уменьшении вектора x на 6 % от максимального уровня, оценить ошибку прогноза и построить доверительный интервал прогноза;
Таблица №5
| номер наблюдения, i
|
Накопления семьи, Y (y.e.)
|
Доход семьи, X1 (
y.
e.)
|
Расходы на питание, X 2
(
y.
e.)
|
| 1
|
2
|
20
|
5
|
| 2
|
6
|
27
|
6
|
| 3
|
7
|
26
|
7
|
| 4
|
5
|
19
|
5
|
| 5
|
4
|
15
|
5
|
| 6
|
2
|
15
|
5
|
| 7
|
7
|
28
|
10
|
| 8
|
6
|
24
|
7
|
| 9
|
4
|
14
|
6
|
| 10
|
5
|
21
|
7
|
| 11
|
5
|
20
|
10
|
| 12
|
3
|
18
|
6
|
Таблица №6 Параметры (коэффициенты) уравнения регрессии
| |
Коэффициенты
|
| Y-пересечение
|
-1,767785782
|
| x1
|
0,232792618
|
| x2
|
0,24953991
|
Множественная регрессия
широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия - один из наиболее распространенных методов в эконометрике
. Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.
На основании этих данных запишем уравнение регрессии:
 .
Таблица №7 Регрессионная статистика
| R-квадрат
|
0,663668925
|
| Нормированный R-квадрат
|
0,588928686
|
! Параметр R-квадрат, представляет собой квадрат коэффициента корреляции rxy
2 и называется коэффициентом детерминации
. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной y, объясненную регрессией (объясняющей переменной x). Соответственно величина 1 - rxy
2 характеризует долю дисперсии переменной y, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет: 0,663668, или 66,3%.
Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Зарегистрироваться в сервисе
Находим, что численное значение  , а скорректированный (нормированный, исправленный) коэффициент детерминации равен 
1) Для оценки качества уравнения регрессии в целом необходимо проверить статистическую значимость индекса детерминации  : проверяется нулевая гипотеза  , используется  .
Наблюдаемое значение критерия  и оценку его значимости находим в Таблице №8
Таблица №8 Дисперсионный анализ:
| F
|
Значимость F
|
| 8,87967358
|
0,007420813
|
! Включаемые в уравнение множественной регрессии
факторы должны объяснить вариацию зависимой переменной
. Если строится модель с некоторым набором факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации
, который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака (объясняемой переменной
) за счет рассматриваемых в регрессии факторов. А оценка влияния других, неучтенных в модели факторов, оценивается вычитанием из единицы коэффициента детерминации
, что и приводит к соответствующей остаточной дисперсии
.
Таким образом, при дополнительном включении в регрессию еще одного фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Если этого не происходит и данные показатели практически недостаточно значимо отличаются друг от друга, то включаемый в анализ дополнительный фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором.
Если модель насыщается такими лишними факторами, то не только не снижается величина остаточной дисперсии и не увеличивается показатель детерминации, но, более того, снижается статистическая значимость параметров регрессии по критерию Стьюдента вплоть до статистической незначимости.
2) Для статистической оценки значимости коэффициентов регрессии ( ) используем  статистику Стьюдента.
Проверяется нулевая гипотеза  .
Для проверки нулевой гипотезы необходимо знать величину наблюдаемых значений критерия  . Их значения и оценки их статистической значимости найдем в Таблице №9
Таблица №9
| t-статистика
|
P-Значение
|
| -1,127971079
|
0,28850322
|
| 2,838964459
|
0,01943598
|
| 1,130728736
|
0,28740002
|
В этой же таблице находим границы доверительных интервалов для каждого из параметров:
| Нижние 95%
|
Верхние 95%
|
| -5,313097658
|
1,777526094
|
| 0,047297697
|
0,418287538
|
| -0,249694323
|
0,748774142
|
3. Значения парных коэффициентов корреляции найдем из соответствующей матрицы.
Таблица №10 Корреляционная матрица
| |
y
|
x1
|
x2
|
| y
|
1
|
|
|
| x1
|
0,784786247
|
1
|
|
| x2
|
0,60206001
|
0,531178469
|
1
|
По величине парных коэффициентов корреляции
может обнаруживаться лишь явная коллинеарность
факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии
возникают при наличии мультиколлинеарности
факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью
, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга.
Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
Частные коэффициенты корреляции найдем по формулам
 ,
 ,
их значения показывают, что при отсутствии влияния других факторов, связь с рассматриваемым фактором усиливается т.е. мультиколлинеарность между ними существует.
4. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 110% их максимального значения. Найдем прогнозные значения факторов и подставим их в полученное уравнение регрессии.
По условию прогнозные значения составляют 110% их максимального значения.
Таблица №11
Далее вычисляем прогнозные значения факторов:  . Затем, подставив эти значения в уравнение регрессии, получим прогнозное (предсказанное) значение фактора  . Доверительный интервал прогноза оценивается формулой:  , где  - ошибка прогноза, стандартная ошибка регрессии.
Таблица №12
| Стандартная ошибка
|
1,104878833
|
 ;
 - коэффициент Стьюдента, который в данном случае имеет смысл кратности случайной (стандартной) ошибки прогноза  ;
 - число, которое получим в результате операций над матрицами:
 -
матрица значений факторных переменных  ,
 транспонированная матрица  ;
 - произведение матриц  ;
 - матрица, обратная к матрице ;
 - матрица прогнозных значений факторов;
 - транспонированная матрица прогнозов.
Фактор  представляет собой фиктивную переменную, которую необходимо ввести в уравнение регрессии для того, чтобы преобразовать его в "приведенную" форму вида  .
Максимальную ошибку прогноза  =11,07714043: 1) нижняя граница прогноза  =44,92285957, 2) верхнюю границу прогноза  =67,07714043. Интервал прогнозных значений результативного признака
=>
Задача № 3
Используя данные, представленные в таблице проверить наличие гетероскедастичности, применяя тест Голдфельда-Квандта.
Таблица№13.
Данные
| Страна
|
Индекс человеческого развития, У
|
Расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП, Х
|
| Австрия
|
0,904
|
75,5
|
| Австралия
|
0,922
|
78,5
|
| Англия
|
0,918
|
84,4
|
| Белоруссия
|
0,763
|
78,4
|
| Бельгия
|
0,923
|
77,7
|
| Германия
|
0,906
|
75,9
|
| Дания
|
0,905
|
76,0
|
| Индия
|
0,545
|
67,5
|
| Испания
|
0,894
|
78,2
|
| Италия
|
0,900
|
78,1
|
| Канада
|
0,932
|
78,6
|
| Казахстан
|
0,740
|
84,0
|
| Китай
|
0,701
|
59,2
|
| Латвия
|
0,744
|
90,2
|
| Нидерланды
|
0,921
|
72,8
|
| Норвегия
|
0,927
|
67,7
|
| Польша
|
0,802
|
82,6
|
| Россия
|
0,747
|
74,4
|
| США
|
0,927
|
83,3
|
| Украина
|
0,721
|
83,7
|
| Финляндия
|
0,913
|
73,8
|
| Франция
|
0,918
|
79,2
|
| Чехия
|
0,833
|
71,5
|
| Швейцария
|
0,914
|
75,3
|
| Швеция
|
0,923
|
79,0
|
1) Найдем параметры линейного уравнения множественной регрессии и значения остатков.
Определим остаточные суммы квадратов  и  , то есть суммы квадратов остатков регрессии по "урезанным выборкам".
Таблица№14
| №
|
Y
|
X
|
Yp
|
ei
|
(ei) ^2
|
|
| 1
|
0,932
|
78,6
|
77,90431365
|
0,695686352
|
0,483979501
|
|
| 2
|
0,927
|
67,7
|
77,85057558
|
-10,15057558
|
103,0341846
|
|
| 3
|
0,927
|
83,3
|
77,85057558
|
5,44942442
|
29,69622651
|
|
| 4
|
0,923
|
77,7
|
77,80758513
|
-0,107585125
|
0,011574559
|
|
| 5
|
0,923
|
79,0
|
77,80758513
|
1, 192414875
|
1,421853234
|
|
| 6
|
0,922
|
78,5
|
77,79683751
|
0,703162488
|
0,494437485
|
|
| 7
|
0,921
|
72,8
|
77,7860899
|
-4,986089898
|
24,86109247
|
|
| 8
|
0,918
|
84,4
|
77,75384706
|
6,646152943
|
44,17134894
|
S1
|
| 9
|
0,918
|
79,2
|
77,75384706
|
1,446152943
|
2,091358334
|
206,2660556
|
| 10
|
0,914
|
75,3
|
77,7108566
|
-2,410856603
|
5,812229559
|
|
| 11
|
0,913
|
73,8
|
77,70010899
|
-3,900108989
|
15,21085013
|
|
| 12
|
0,906
|
75,9
|
77,62487569
|
-1,724875694
|
2,975196159
|
|
| 13
|
0,905
|
76,0
|
77,61412808
|
-1,61412808
|
2,60540946
|
|
| 14
|
0,904
|
75,5
|
77,60338047
|
-2,103380467
|
4,424209388
|
|
| 15
|
0,900
|
78,1
|
77,56039001
|
0,539609988
|
0,291178939
|
|
| 16
|
0,894
|
78,2
|
77,49590433
|
0,704095669
|
0,495750712
|
|
| 17
|
0,833
|
71,5
|
76,8402999
|
-5,3402999
|
28,51880303
|
|
| 18
|
0,802
|
82,6
|
76,50712388
|
6,092876121
|
37,12313943
|
|
| 19
|
0,763
|
78,4
|
76,08796695
|
2,312033052
|
5,345496834
|
|
| 20
|
0,747
|
74,4
|
75,91600513
|
-1,51600513
|
2,298271555
|
|
| 21
|
0,744
|
90,2
|
75,88376229
|
14,31623771
|
204,9546622
|
|
| 22
|
0,740
|
84,0
|
75,84077183
|
8,159228165
|
66,57300425
|
|
| 23
|
0,721
|
83,7
|
75,63656718
|
8,063432824
|
65,0189489
|
|
| 24
|
0,701
|
59,2
|
75,4216149
|
-16,2216149
|
263,1407901
|
S2
|
| 25
|
0,545
|
67,5
|
73,74498718
|
-6,244987181
|
38,99986489
|
743,7878055
|
1) Находим наблюдаемое значение критерия  . По условию задачи  . Из таблицы значений  Фишера находим, что 
Вывод: отвергаем нулевую гипотезу  на принятом уровне значимости  , т.к. наблюдаемое значение критерия больше табличного.
Следовательно, предположение об однородности дисперсий ошибок, при условии, что выполнены стандартные предположения о модели наблюдений, включая предположение о нормальности ошибок, неверно. Наблюдается гетероскедастичность, что приводит к ошибочным статистическим выводам при использовании МНК. Следовательно, полученные оценки не являются состоятельными.
Задача № 4
По данным таблицы построить уравнение регрессии, выявить наличие автокорреляции остатков, используя критерий Дарбина - Уотсона, и проанализировать пригодность полученного уравнения для построения прогнозов.
Таблица №15
| Год
|
Выпуск продукции в США в среднем за 1 час, % к уровню 1982 г., Х
|
Среднечасовая заработная плата в экономике США, в сопоставимых ценах 1982 г., Y
|
| 1960
|
65,6
|
6,79
|
| 1961
|
68,1
|
6,88
|
| 1962
|
73,3
|
7,07
|
| 1963
|
76,5
|
7,17
|
| 1964
|
78,6
|
7,33
|
| 1965
|
81,0
|
7,52
|
| 1966
|
83,0
|
7,62
|
| 1967
|
85,4
|
7,72
|
| 1968
|
85,9
|
7,89
|
| 1969
|
85,9
|
7,98
|
| 1970
|
87,0
|
8,03
|
| 1971
|
90,2
|
8,21
|
| 1972
|
92,6
|
8,53
|
| 1973
|
95,0
|
8,55
|
| 1974
|
93,3
|
8,28
|
| 1975
|
95,5
|
8,12
|
Найдем параметры линейного уравнения множественной регрессии и значения остатков.
Дополним таблицу данных столбцами " ", "Квадрат разности остатков  " и "Квадрат остатка  " и заполним их.
Таблица №16
| Y
|
X
|
Yi
|
et
|
et-1
|
(et-et-1) ^2
|
et^2
|
| 6,79
|
65,6
|
6,667235239
|
0,122765
|
|
|
0,015071
|
| 6,88
|
68,1
|
6,815288112
|
0,064712
|
0,122765
|
0,003370136
|
0,004188
|
| 7,07
|
73,3
|
7,123238088
|
-0,05324
|
0,064712
|
0,013912197
|
0,002834
|
| 7,17
|
76,5
|
7,312745766
|
-0,14275
|
-0,05324
|
0,008011624
|
0,020376
|
| 7,33
|
78,6
|
7,437110179
|
-0,10711
|
-0,14275
|
0,001269895
|
0,011473
|
| 7,52
|
81,0
|
7,579240937
|
-0,05924
|
-0,10711
|
0,002291464
|
0,003509
|
| 7,62
|
83,0
|
7,697683236
|
-0,07768
|
-0,05924
|
0,000340118
|
0,006035
|
| 7,72
|
85,4
|
7,839813994
|
-0,11981
|
-0,07768
|
0,001775001
|
0,014355
|
| 7,89
|
85,9
|
7,869424568
|
0,020575
|
-0,11981
|
0,019709191
|
0,000423
|
| 7,98
|
85,9
|
7,869424568
|
0,110575
|
0,020575
|
0,008100000
|
0,012227
|
| 8,03
|
87,0
|
7,934567833
|
0,095432
|
0,110575
|
0,000229318
|
0,009107
|
| 8,21
|
90,2
|
8,12407551
|
0,085924
|
0,095432
|
0,000090396
|
0,007383
|
| 8,53
|
92,6
|
8,266206268
|
0,263794
|
0,085924
|
0,031637467
|
0,069587
|
| 8,55
|
95,0
|
8,408337026
|
0,141663
|
0,263794
|
0,014915922
|
0,020068
|
| 8,28
|
93,3
|
8,307661073
|
-0,02766
|
0,141663
|
0,028670633
|
0,000765
|
| 8,12
|
95,5
|
8,437947601
|
-0,31795
|
-0,02766
|
0,084266268
|
0,101091
|
| |
|
|
|
Суммы
|
0,218589631
|
0,298494
|
По формуле  вычислим значение статистики  :
Так как  , то значение статистики
равно  .
По таблице критических точек Дарбина Уотсона определим значения критерия Дарбина-Уотсона  (нижнее) и  (верхнее) для заданного числа наблюдений  , числа независимых переменных модели  и уровня значимости . Итак, находим, что  ,  .
По этим значениям числовой промежуток  разбиваем на пять отрезков:
 ,
 ,
 ,
 ,
 .
На основании выполненных расчетов находим, что наблюдаемое значение статистики  принадлежит первому интервалу.
Вывод: существует отрицательная автокорреляция, то есть гипотеза  отклоняется и с вероятностью  принимается гипотеза  .
Следовательно, полученное уравнение регрессии  не может быть использовано для прогноза, так как в нем не устранена автокорреляция в остатках, которая может иметь разные причины. Автокорреляция в остатках может означать, что в уравнение не включен какой-либо существенный фактор. Возможно также, что форма связи неточна.
Задача № 5
В таблице приводятся данные о динамике выпуска продукции Финляндии (млн. долл.).
Таблица №17
| Год
|
Выпуск продукции, yt млн.долл.
|
| 1989
|
23 298
|
| 1990
|
26 570
|
| 1991
|
23 080
|
| 1992
|
29 800
|
| 1993
|
28 440
|
| 1994
|
29 658
|
| 1995
|
39 573
|
| 1996
|
38 435
|
| 1997
|
39 002
|
| 1998
|
39 020
|
| 1999
|
40 012
|
| 2000
|
41 005
|
| 2001
|
39 080
|
| 2002
|
42 680
|
Задание:
1. Постройте график временного ряда.
2. Сделайте вывод о присутствии или отсутствии тренда при доверительной вероятности 0,95.
3. Найдите среднее значение, среднеквадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов  ) заданного ВР.
4. Проведите сглаживание данного ВР методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания  ;
5. Найдите уравнение тренда ВР  , предполагая, что он линейный, и проверьте его значимость на уровне  .
6. Дайте точечный и интервальный (с надежностью 0,95) прогнозы индивидуального значения выпуска продукции на 2003 год.
Таблица №18
| Год
|
t
|
Выпуск продукции, yt млн.долл.
|
| 1989
|
1
|
23 298
|
| 1990
|
2
|
26 570
|
| 1991
|
3
|
23 080
|
| 1992
|
4
|
29 800
|
| 1993
|
5
|
28 440
|
| 1994
|
6
|
29 658
|
| 1995
|
7
|
39 573
|
| 1996
|
8
|
38 435
|
| 1997
|
9
|
39 002
|
| 1998
|
10
|
39 020
|
| 1999
|
11
|
40 012
|
| 2000
|
12
|
41 005
|
| 2001
|
13
|
39 080
|
| 2002
|
14
|
42 680
|
2. Для обнаружения тенденции в данном ВР воспользуемся критерием "восходящих и нисходящих" серий.
Критерий "восходящих и нисходящих" серий
1) Для исследуемого ВР определяется последовательность знаков, исходя из условий: (+), если  , (-), если  .
При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учитывается только одно наблюдение.
2) Подсчитывается число серий 
. Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией.
3) Определяется протяженность самой длинной серии 
.
4) Значение 
находят из следующей таблицы:
Таблица №25
| Длина ряда, 
|
|
|
|
| Значение 
|
5
|
6
|
7
|
5) Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95
Определим последовательность знаков:
Таблица №19
| t
|
Выпуск продукции, yt млн.долл.
|
|
| 1
|
23 298
|
|
| 2
|
26 570
|
+
|
| 3
|
23 080
|
-
|
| 4
|
29 800
|
+
|
| 5
|
28 440
|
-
|
| 6
|
29 658
|
+
|
| 7
|
39 573
|
+
|
| 8
|
38 435
|
-
|
| 9
|
39 002
|
+
|
| 10
|
39 020
|
+
|
| 11
|
40 012
|
+
|
| 12
|
41 005
|
+
|
| 13
|
39 080
|
-
|
| 14
|
42 680
|
+
|
Определим число серий :  . Определим протяженность самой длинной серии 
: 
.  , так как  . Проверим выполнение неравенств:
Вывод: второе неравенство не выполняются, следовательно, тренд (тенденция) в динамике выпуска продукции имеется на уровне значимости 0,05. Среднее значение  . Среднее значение  . Вычислим коэффициенты автокорреляции первого и второго порядков, то есть для лагов  . Подготовим данные для вычисления коэффициентов автокорреляции первого и второго порядков. Дополним таблицу данных двумя столбцами  .
Таблица №20
| t
|
Yt
|
Yt-1
|
Yt-2
|
| 1
|
23 298
|
|
|
| 2
|
26 570
|
23 298
|
|
| 3
|
23 080
|
26 570
|
23 298
|
| 4
|
29 800
|
23 080
|
26 570
|
| 5
|
28 440
|
29 800
|
23 080
|
| 6
|
29 658
|
28 440
|
29 800
|
| 7
|
39 573
|
29 658
|
28 440
|
| 8
|
38 435
|
39 573
|
29 658
|
| 9
|
39 002
|
38 435
|
39 573
|
| 10
|
39 020
|
39 002
|
38 435
|
| 11
|
40 012
|
39 020
|
39 002
|
| 12
|
41 005
|
40 012
|
39 020
|
| 13
|
39 080
|
41 005
|
40 012
|
| 14
|
42 680
|
39 080
|
41 005
|
 .
 .
Вывод:
1) высокое значение коэффициента автокорреляции первого порядка  свидетельствует об очень тесной зависимости между выпуском продукции текущего и непосредственно предшествующего годов, и, следовательно, о наличии в исследуемом временном ряде сильной линейной тенденции;
2) исследуемый ряд содержит только тенденцию, так как наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка (0,85>0,83).
Скользящие средние найдем по формуле:  , здесь  . При 
Вычисляем:
и так далее.
Результаты вычислений занесем в таблицу и построим графики исходного и сглаженного  рядов в одной координатной плоскости.
Таблица №21
| t
|
yi
|
yt
|
| 1
|
23 298
|
|
| 2
|
26 570
|
24 315,76
|
| 3
|
23 080
|
26 483,07
|
| 4
|
29 800
|
27 106,40
|
| 5
|
28 440
|
29 299,04
|
| 6
|
29 658
|
32 556,67
|
| 7
|
39 573
|
35 888,31
|
| 8
|
38 435
|
39 002,94
|
| 9
|
39 002
|
38 818,61
|
| 10
|
39 020
|
39 344,27
|
| 11
|
40 012
|
40 011,93
|
| 12
|
41 005
|
40 031,93
|
| 13
|
39 080
|
40 921,26
|
| 14
|
42 680
|
|
Таблица № Параметры (коэффициенты) уравнения тренда.
Таблица №22
| |
Коэффициенты
|
| Y-пересечение
|
22686,54945
|
| t
|
1543,250549
|
Анализ данных таблицы Дисперсионного анализа показывает, что получено статистически значимое уравнение, так как наблюдаемое значение  , равное 52,785, превышает его табличное значение  ,  . Вывод: Таким образом, параметры уравнения тренда статистически значимы на уровне  : уравнение тренда можно использовать для прогноза.
Сделаем точечный и интервальный (с надежностью 0,95) прогнозы среднего и индивидуального значений прогнозов на 2003 год.
Определим точечный прогноз
 
Вычислим интервальный прогноз:
Так как тренд является прямой, то доверительный интервал можно представить в виде:   .
Здесь стандартная ошибка предсказания по линии тренда  вычисляется по формуле:
 ,
здесь величина  является стандартной ошибкой регрессии, и ее значение находится в таблице Регрессионная статистика
Таблица №23
| Стандартная ошибка
|
1637,180026
|
 кратность ошибки (надежность) находят по таблице значений критерия Стьюдента;  уровень значимости;  число степеней свободы.
Итак, по условию задачи имеем: 
Для вычисления стандартной ошибки предсказания по линии тренда  необходимо вычислить  и сумму  .
Таблица № 24
| t
|
yt
|
(t1-tcr) ^2
|
| 1
|
23 298
|
42,25
|
| 2
|
26 570
|
30,25
|
| 3
|
23 080
|
20,25
|
| 4
|
29 800
|
12,25
|
| 5
|
28 440
|
6,25
|
| 6
|
29 658
|
2,25
|
| 7
|
39 573
|
0,25
|
| 8
|
38 435
|
0,25
|
| 9
|
39 002
|
2,25
|
| 10
|
39 020
|
6,25
|
| 11
|
40 012
|
12,25
|
| 12
|
41 005
|
20,25
|
| 13
|
39 080
|
30,25
|
| 14
|
42 680
|
42,25
|
| 7,5
|
Сумма
|
227,5
|
Вычисляем  (млн. долл.)
По таблице значений критерия Стьюдента найдем 
Максимальная ошибка прогноза будет равна:
 (млн. долл.).
Нижняя граница прогноза имеет значение  (млн. долл.)
Верхняя граница прогноза имеет значение  (млн. долл.)
Вывод:
1) значение выпуска продукции Финляндии в 2003 составит 20111,2 млн. долл.
2) с надежностью 0,95 данное значение будет находиться в интервале 
|
