Контрольная работа: Методы экономической кибернетики

Міністерство освіти і науки України

Харківський національний університет радіоелектроніки

КОНТРОЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

з дисципліни „Економічна кібернетика”

Методы экономической кибернетики

Использование математических методов в сфере управления - важнейшее направление совершенствования систем управления. Математические методы ускоряют проведение экономического анализа, способствуют более полному учету влияния факторов на результаты деятельности, повышению точности вычислений. Применение математических методов требует:

· системного подхода к исследованию заданного объекта, учета взаимосвязей и отношений с другими объектами (предприятиями, фирмами);

· разработки математических моделей, отражающих количественные показатели системной деятельности работников организации, процессов, происходящих в сложных системах, какими являются предприятия;

· совершенствования системы информационного обеспечения управления предприятием с использованием электронно-вычислительной техники.

Методы элементарной математикииспользуются в традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, разработке плана, проектов и т. п.

Классические методы математического анализаиспользуются самостоятельно (дифференцирование и интегрирование) и в рамках других методов (математической статистики, математического программирования).

Статистические методы - основное средство исследования массовых повторяющихся явлений. Они применяются при возможности представления изменения анализируемых показателей как случайного процесса. Если связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы становятся практически единственным инструментом исследования. В экономическом анализе наиболее известны методы множественного и парного корреляционного анализа.

Для изучения одновременных статистических совокупностей служат закон распределения, вариационный ряд, выборочный метод. Для многомерных статистических совокупностей применяются корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный виды анализа.

Экономические методыбазируются на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Наиболее распространен метод анализа экономики "затраты — выпуск". Метод представляет матричные (балансовые) модели, построенные по шахматной схеме и наглядно иллюстрирующие взаимосвязь затрат и результатов производства.

Методы математического программирования — основное средство решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. По сути, методы — средства плановых расчетов, и они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, дефицитность результатов, определять лимитирующие виды сырья, группы оборудования.

Под исследованием операцийпонимаются разработки методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка решений и выбор наилучшего из них. Цель исследования операций сочетание структурных взаимосвязанных элементов системы, в наибольшей степени обеспечивающее лучший экономический показатель.

Теория игр как раздел исследования операций представляет собой теорию математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Теория массового обслуживания на основе теории вероятности исследует математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Особенность всех задач, связанных с массовым обслуживанием, — случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлениями имеют случайный характер, однако в совокупности подчиняются статистическим закономерностям, количественное изучение которых и есть предмет теории массового обслуживания.

Экономическая кибернетикаанализирует экономические явления и процессы как сложные системы с точки зрения законов управления и движения в них информации. Методы моделирования и системного анализа наиболее разработаны именно в этой области.

Применение математических методов в экономическом анализе базируется на методологии экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованной классификации методов и задач анализа. Все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные решения по заданному критерию и не оптимизационные(решения без критерия оптимальности).

По признаку получения точного решения все математические методы делятся на точные (по критерию или без него получают единственное решение) и приближенные(на основе стохастической информации).

К оптимальным точным можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций, к оптимизационным приближенным - часть методов математического программирования, исследования операций, экономической кибернетики, эвристические.

К не оптимизационным точным принадлежат методы элементарной математики и классические методы математического анализа, экономические методы, к не оптимизационным приближенным — метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

Особенно часто применяются математические модели очередей и управления запасами. Например, теория очередей опирается на разработанную учеными А.Н. Колмогоровым и А.Л. Ханчиным теорию массового обслуживания.

Данная теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным образом поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

Исходя их данных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания, теория определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.).

Математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания являются также задачи линейного программирования. Линейное программирование - это дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производственные факторы - сырье, рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т.д. Обычно имеется несколько отработанных технологических способов производства, причем в этих способах затраты производственных факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.

Количество израсходованных производственных факторов и количество изготовляемых изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологическому способу.

Ставится задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологическим способам, т.е. такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

На основе метода математического моделирования в операционных исследованиях решаются также многие важные задачи, требующие специфических методов решения. К их числу относятся:

· Задача надежности изделий.

· Задача замены оборудования.

· Теория расписаний (так называемая теория календарного планирования).

· Задача распределения ресурсов.

· Задача ценообразования.

· Теория сетевого планирования.

Надежность изделий определяется совокупностью показателей. Для каждого из типов изделий существуют рекомендации по выбору показателей надежности.

Для оценки изделий, которые могут находиться в двух возможных состояниях - работоспособном и отказовом, применяются следующие показатели: среднее время работы до возникновения отказа (наработка до первого отказа), наработка на отказ, интенсивность отказов, параметр потока отказов, среднее время восстановления работоспособного состояния, вероятность безотказной работы за время t, коэффициент готовности.

Вопрос распределения ресурсов является одним из основных в процессе управления производством. Для решения этого вопроса в операционных исследованиях пользуются построением линейной статистической модели.

Для предприятия вопрос образования цены на продукцию играет немаловажную роль. От того, как проводится ценообразование на предприятии, зависит его прибыль. Кроме того, в существующих сейчас условиях рыночной экономики цена стала существенным фактором в конкурентной борьбе.

Сетевое планирование и управление, является системой планирования управления разработкой крупных хозяйственных комплексов, конструкторской и технологической подготовкой производства новых видов товаров, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков.

Сущность сетевого планирования и управления состоит в составлении математической модели управляемого объекта в виде сетевого графика или модели находящейся в памяти компьютера, в которых отражается взаимосвязь и длительность определенного комплекса работ. Сетевой график после его оптимизации средствами прикладной математики и вычислительной техники используется для оперативного управления работами.

Решение экономических задач с помощью метода математического моделирования позволяет осуществлять эффективное управление как отдельными производственными процессами на уровне прогнозирования и планирования экономических ситуаций и принятия на основе этого управленческих решений, так и всей экономикой в целом. Следовательно, математическое моделирование как метод тесно соприкасается с теорией принятия решений в менеджменте.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Основные признаки иерархической системы управления

Процесс управления организациями – особенный процесс, который принадлежит к наиболее сложным формам деятельности человека. Управление организацией как особенный вид деятельности превращает неорганизованную группу людей на эффективную, целенаправленную и продуктивную группу.

Система управления может быть централизованной, когда все важные решения принимаются в её центральном органе управления, и децентрализованной, в которой решения принимают отдельные элементы системы независимо от других элементов, при этом эти решения не корректирует центральный орган.

Структура систем управления в экономике строится по отраслевому или территориальному принципу. Отраслевой принцип позволяет совершать единственную техническую и экономическую политику в каждой отрасли. Он применяется в тех случаях, когда речь идет об сложных, специфических видах производства, проектировании, строительстве. Если ставится задание комплексного использования разных материальных ресурсов в данном районе страны, структура управления строится по территориальному принципу. По этому же принципу построены органы государственного административного управления.

Наиболее распространенной является иерархическая система управления, или многоуровневая структура. Иерархия – это расположение частей и элементов в порядке от высшего к низшему. В системах с такой структурой существует разделение функций управления между органами или подразделениями разного уровня или ранга. Управляющий орган некоторого уровня иерархии управляет несколькими органами низшего уровня, которые пребывают в его подчинении.

Одной из самых важных ценных особенностей иерархической системы управления является возможность распределения функций управления по разным системам, принятие решений относительно разных заданий в подразделениях разного уровня. Это дает возможность сосредоточить развязку стратегических заданий на высших уровнях управления, где их развязка наиболее эффективна. Тактические задания в зависимости от их сложности и необходимых ресурсов могут решаться на низших уровнях, что обеспечивает оперативность принятия решений.

Для иерархической системы с распределением функций управления по уровням характерна автономность отдельных органов управления промежуточных и низших уровней в том смысле, что каждый из них самостоятельно, в границах своих полномочий управляет подчиненными его подразделениями.

Другой характерной особенностью иерархической системы является наличие общей цели для всей системы и отдельных целей для подсистемы. Эти цели не всегда совпадают, а иногда противоречат одна другой или конкурируют между собой. Следовательно, существует реальная опасность того, что какая-нибудь подсистема, пытаясь достичь поставленной перед ней цели, может действовать наперекор общей цели системы.

Наличие общих ограничений, которые становятся особенно заметными со сниженным уровнем руководящего органа, обуславливает взаимное влияние подсистем в процессе их функционирования. Такие ограничения могут иметь вид, например, общих ресурсов. Тогда усиление активности одной подсистемы приводит к уменьшению части ресурсов другой, и наоборот. В этих случаях решение должен принимать орган управления высшего уровня в интересах всей системы, иначе ресурсы будут разделены под влиянием случайных показателей или будет принято компромиссное решение.

В иерархических системах управления управление подсистемами нередко совершается в условиях неполной информации, когда подсистемам высшего уровня могут быть не полностью известны цели и ограничения подсистем низших уровней.

Как следует из определения иерархической системы, согласно каждой подсистемы модно выделить подчиненные ей подсистемы. Аналогично можно выделить подсистемы высшей категории управления. Совокупность всех подсистем, как высшей отрасли, так и подчиненный ей называются ею вертикалью. Все подсистемы, принадлежащие одной вертикали, называются упорядочными. Связи между подсистемами разных уровней называют вертикальными, а между подсистемами одного уровня – горизонтальными. Для каждой подсистемы связи со всеми подчиненными ей подсистемами называются внутренними, а остальные – внешними.

К самым важным особенностям иерархической структуры можно отнести такие:

· вертикальное подчинение;

· приоритет действий подсистемы высшего уровня;

· взаимозависимость действий высших и низших уровней структуры;

· элементы верхнего уровня иерархии имеют дело с большими подсистемами;

· периоды принятия решений для элементов верхнего уровня больше, чем для элементов низшего уровня;

· верхние уровни имеют дело с более медленными проявлениями системы;

· описание проблемы на вернем уровне менее структурирование, содержит больше неопределённостей.

Построить иерархическую систему управления - фактически, именно в этом и состоит задача каждого управленца или менеджера. Отталкиваясь от своего собственного понимания реальности, от видения самого себя в этом мире, - управленец - менеджер строит свою собственную, ориентированную на самого себя структуру управления. Он строит ее исходя из тех людей, которые имеются в его распоряжении, из тех людей, которых он отобрал и обучил.

Для малых фирм структурирование управления, как правило, не нужно. Однако средний или большой бизнес - средние или большие фирмы - без организации иерархической структуры для управления существовать уже просто не могут.

Таким образом, в иерархических социальных системах в качестве функциональной единицы, участвующей в самоорганизации информации, может выступать лишь отдельный человек. Будем называть такого человека координатором.

Координатор задает вектор социализации-внедрения новой информации, обеспечивающий подстройку низшего уровня ИСУ к целям и задачам высшего. Другими словами - он задает вектор развития для всего этого иерархического уровня.

Фактически, обладая более «высоким кругозором», координатор способен не только производить-синтезировать новую информацию, но также и достраивать, восстанавливать недостающую на данном иерархическом уровне ее часть. Остальные же люди, «осуществляющие управление на данном иерархическом уровне», способны такую новую информацию лишь только распространять. Называют таких людей тиражировщиками.

Отметим при этом, что тиражировщик - в некоторых случаях - сам может выступать как координатор, но только для нижележащего уровня ИСУ.

Вся иерархическая структура управления - вся пирамида управления - может работать лишь только тогда, когда функционируют координаторы и когда в «нижележащих» слоях этой пирамиды нет пропусков. Таким образом, пирамида управления оказывается весьма чувствительной к функционированию координаторов, - которых, в случае окончания их деятельности, необходимо постоянно заменять на других. Осуществить же такой режим функционирования пирамид управления можно только с использованием механизма самоорганизации - для социальных структур этот механизм часто осуществляется при помощи так называемых механизмов социальной демократии.

Интересно также следующее обстоятельство. Так как «квант времени», заключенный в единичную структуру высокого уровня иерархии, может быть весьма большим, то для осуществления управления большими экономическими, социальными и природными системами (например, большими территориями) ранее требовалась постоянная смена координаторов высокого уровня иерархии на историческидлительных промежутках времени. Однако сейчас, с возрастанием, как скорости, так и связности современных информационных коммуникаций (почта, телефон, компьютеры, Internet и т.п.), а также технической возможности цивилизации в преобразовании природы, впервые появляется возможность осуществлять управление экономическими, социальными и природными системами планетарного масштаба - за исторически короткие промежутки времени, сравнимые уже с длительностью деятельной человеческой жизни. Примеров тому ХХ век дал множество: Мировые войны, коммунизм и фашизм, персональные компьютеры и Internet, объединение Европы, возрастание роли ООН и необходимость изменения ее функций, - и многое, многое другое.

Условием для самоорганизации координаторов является обеспечение им максимально широкого доступа к информации: координатор сам выберет «к действию» (обработке) лишь только ту информацию, которую он в состоянии освоить. Таким образом, координатор выступает также в роли своеобразного механизма селекции информации - так происходит построение информационной – также иерархической - пирамиды (причем объем информации стремительно нарастает при переходе к координаторам боле высокого уровня). Поскольку в экономике недостаток в координаторах существует всегда, то социальное (фактически - политическое) устройство государства должно быть ориентировано на создание максимально оптимальных и комфортных условий для отбора, обучения, воспитания и функционирования координаторов.

«Наивный» способ построения иерархической пирамиды управления состоит в следующем. Пусть задано некое количество управленцев-менеджеров, работающих на данном уровне иерархии. На более низком уровне эти менеджеры смогут управлять неким, вполне определенным количеством менеджеров. Как определяется это количество менеджеров более низкого уровня, приходящееся на одного менеджера более высокого уровня? Как правило, исходя из требуемых функциональных обязанностей, задаваемых спецификой данного объекта (например, фирмы или организации). Однако на этом, более низком уровне иерархии, должны быть также и некое количество «обслуживающего персонала», обеспечивающее, собственно, уже функционирование самой пирамиду управления объектом. Например, это могут быть менеджеры, обеспечивающие высокий уровень работоспособности для остальных менеджеров («специалистов») на данном уровне иерархии. Это количество менеджеров целесообразно связать не с уровнем «на один выше», а с уровнем «на два выше», чем рассматриваемый, - своего рода используя «отставание» в росте количества работников, обслуживающих пирамиду управления.

Дальнейшее «естественное» предположение вытекает из того обстоятельства, что менеджмент в пирамидах управления обладает неким свойством «универсальности», зависящим, однако, от специфики управленческой области. Фактически, это является следствием общепринятого сегодня предположения, что менеджерские обязанности являются своего рода универсальными, и одни и те же технологии управления применяются на разных уровнях иерархии. Например, в каждом учебнике по менеджменту описывается достаточно много примеров осуществления успешных решений, принятых менеджерами самого высокого уровня. Для большинства учащихся этот уровень никогда не будет ими достигнут в процессе их карьеры – но знание этого материала, безусловно, поможет им в развитии их карьеры.

Пирамида управления для осуществления иерархического управления в рамках «наивного» подхода может быть количественно описана в рамках итерационного уравнения (рекурсивной или возвратной последовательности) для подсчета количества сотрудников-менеджеров на каждом из иерархических уровней. Коэффициенты этого итерационного уравнения зависят как от специфических черт процесса управления, осуществляемого человеком, так и от конкретных особенностей объекта, над которым осуществляется управление (фирмы, организации, государства, и т.п., включая специфику личностных черт высшего руководства).

Математически сказанное может быть записано в виде формулы:

N_n =b₁ N_n-1 +b₂ N_n-2

где N_n - количество менеджеров на n-том иерархическом уровне пирамиды управления, b₁ и b₂ - коэффициенты, которые зависят: от специфических черт управления для человека, от особенностей организации системы технической поддержки управления, от личностных черт менеджеров высшего уровня, от особенностей культуры, от специфики области экономики (или социальной сферы), в которой работает данная управленческая структура, от специфики поставленных перед данной управленческой структурой задач и т.п.

Рассмотрим пирамиду управления, осуществляемую при условии «умеренно жесткого авторитаризма» и постоянного контроля со стороны вышестоящих уровней. Этой моделью описывается пирамида управления, которая жестко удерживается в рамках единой цели и единых методов организации работы.

Это – простейшая модель менеджмента, когда происходит параллельная обработка информации: каждый подчиненный «отрабатывает» свой участок управленческой деятельности.

«Демократическая» модель с осуществлением некоего делегирования полномочий и осуществлением только «постоянного личного надзора» над менеджерами более низкого уровня иерархии. Этой моделью описывается случай удержания единой цели в рамках всей пирамиды, но менеджерам дается возможность предлагать свои решения, - которые, однако «утверждаются» менеджером вышестоящего уровня.

«Демократическая» модель с максимально возможной степенью делегирования полномочий. Такой моделью описываются пирамиды управления, в которых допускается разнообразие мотиваций на каждом из уровней, но, тем не менее, каждый из уровней удерживается (вышестоящим менеджером) в рамках решения единой задачи. При этом существенной особенностью данной модели является наличие определенного соответствия уровней иерархии пирамиды управления и уровней иерархии объекта, которым управление осуществляется.

В этом случае нужно воспользоваться специфическими особенностями организации иерархического управления человеком, из которых следует, что для оптимального управления один менеджер из «вышестоящего» уровня иерархии должен передавать информацию на нижележащий уровень, и эту информацию должны конкретизировать под реальные решения уже на этом уровне иерархии не менее 16-ти менеджеров (причем в рамках специально организованной коммуникации между собой).

«Демократическая» модель с делегированием полномочий «по направлениям». В этом случае при осуществлении управления один вышестоящий менеджер сможет «передавать вниз» команды не более чем для (7±2) группам менеджеров, которые уже должны быть способны конкретизировать это управленческое решение для данного региона или направления. Математически это можно записать так:

N_n =(7±2)16N_n-1 +(7±2)N_n-2

Во всех предыдущих моделях неявно предполагалось наличие одновременности и непрерывности в управлении, то есть предполагалось, что все менеджеры во всей пирамиде управления работают одновременно над выполнением одной и той же задачи. Если отказаться от этого предположения, возникает возможность описать так называемое «управление проектами»: процесс создания отдельных групп – отдельных пирамид управления, целью которых является осуществление анализа ситуации, принятие решения и его осуществление.

В этом случае один менеджер высшего уровня может осуществлять управление более чем (7±2) группами, поскольку такое управление осуществляется в разные промежутки времени. Это можно записать соотношением

N_n =16kN_n-1

где k – количество групп, которыми управляет данный менеджер. Отметим, что в этом случае «обратную связь» можно полагать отсутствующей, так как ее может осуществлять вышестоящий менеджер (например, решая, достигнута цель или нет).

Иерархические системы управления – ИСУ – могут быть построены универсальным образом. Однако для систем экономических и/или социальных единственным представителем является человек – индивид, осуществляющий управление. Причем тот же самый человек осуществляет управления на всех уровнях ИСУ. Способен ли произвольно взятый человек «работать» - осуществлять эффективное управление – на любом из уровней управления? Как свидетельствует практика – ответ является отрицательным. Таким образом, рассматривая ИСУ, составленные из одних и тех же объектов, осуществляющих управление (из людей), приходим к выводу о наличии необходимости разделения управленцев на координаторов и тиражировщиков. Такое подразделение понимается именно в управленческом смысле.

Достижение эффективного управления возможно только в условиях наличия самоорганизации ИСУ: показано, что эти условия зафиксированы в законодательстве развитых стран мира.

Задача 1.4

Фирма изготавливает два вида изделий в количестве х₁ и х_2. Единица первого изделия приносит П₁ = 48 тыс.грн. гривен прибыли, а второго П₂ = 28 тыс.грн. гривен прибыли. Производственные мощности позволяют выпускать не более 400 тыс.тонн двух наименований изделий вместе, при этом производство первого изделия не может превышать более чем в 4 раза производство второго изделия. Определить объем производства, который приносит, максимальную прибыль. Построить график оптимизации прибыли.

Решение

Целевая функция имеет вид:

F(х₁ ,х₂ ,….х_n ) = F(х₁ ,х₂ ,) = 48х₁ + 28 х₂ тыс.грн.

Объёмы выпуска х₁ и х₂ имеют явно позитивные размеры, т.е. х₁ 0; х₂ 0.

Между значениями х₁ и х₂ есть связи

х₁ + х₂ 400

х₁ 4х₂

В силу позитивных значений параметров х₁ и х₂ решение необходимо искать в первом квадрате.

Ограничения по суммарному (х₁ + х₂ 400) сужает поиск до того, что находится в середине треугольника ОАС, ограниченного прямой х₁ + х₂ = 400. Ограничения х₁ 4х₂ еще больше сужает область допустимых по условию задачи значений х₁ и х_2. Среди всех значений х₁ и х₂ сосредоточенных в середине треугольника ОАВ, оптимальным является точка В. В этой точке, которая соответствует координатам х₁ = 320; х₂ = 80, достигается наиболее из допустимых значений х₁ равное 320. Оптимальному решению соответствует точка В, в которой целевая функция достигает своего максимального значения.

48х₁ + 28 х₂ = 48*320+28*80=15360+2240=17600 тыс.грн.

В середине треугольника ОАВ любое другое соединение, кроме х₁ = 320; х₂ = 80, обеспечивает меньшую суммарную прибыль.

Задача 3.8

Определить объёмы производства товаров х₁ и х₂ при таких условиях:

а₁₁ = 0,2

а₁₂ = 0,4

а₂₁ = 0,1

а₂₂ = 0,3

х_1d = 7200

х_2d = 3600,

где х₁ – объем производства первого товара;

х₂ – объем производства второго товара;

а₁₁ – часть первого товара, которая тратится на его же производство;

а₁₂ - часть первого товара, которая тратится на производство второго;

а₂₁ – часть второго товара, что тратится на производство первого;

а₂₂ – часть второго товара, которая тратится на его же производство;

х_1d – объем производства первого товара на другие потребности;

х_2d - объем производства второго товара на другие потребности.

Решение

Двухпродуктная балансовая модель выглядит так:

х₁ = а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + х_1d

х₂ = а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + х_2d

х₁ = 0,2х₁ + 0,4х₂ + 7200

х₂ = 0,1х₁ + 0,3х₂ + 3600

0,1 х₁ +0,1 х₂ +3600 = х₁ - х₂

х₁ = 36000 - х₂

36000 - х₂ = 0,2(36000 - х₂ )+0,4 х₂ +7200

х₁ = 18000 единиц

х₂ = 18000 единиц