КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Математическая статистика»
Задания к контрольной работе
1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический вывод. Модель :  ; X = 4;
3. Для представленных данных выполнить следующее задание:
3.1 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.
3.2 Провести эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора, воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.
3.3 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найти частичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.
Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:
| № завода
|
Фактор
|
Уровень рентабельности,
%
|
| Фондоотдача, грн
|
Производительность труда, грн
|
| 1
|
38,9
|
3742
|
10,7
|
| 2
|
33,3
|
2983
|
11,3
|
| 3
|
37,7
|
3000
|
12,2
|
| 4
|
31,1
|
2537
|
12,4
|
| 5
|
29,4
|
2421
|
10,9
|
| 6
|
37,2
|
3047
|
11,3
|
| 7
|
35,6
|
3002
|
11,1
|
| 8
|
34,1
|
2887
|
14,0
|
| 9
|
16,1
|
2177
|
6,8
|
| 10
|
22,8
|
2141
|
7,1
|
| 11
|
21,7
|
2005
|
8,9
|
| 12
|
26,8
|
1843
|
4,2
|
| 13
|
23,3
|
2031
|
7,4
|
| 14
|
24,5
|
2340
|
11,4
|
| 15
|
19,9
|
1933
|
4,8
|
Нелинейную зависимость принять 
1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение
Генеральная совокупность - вся изучаемая выборочным методом статистическая совокупность объектов и/или явлений общественной жизни, имеющих общие качественные признаки или количественные переменные.
Выборочная совокупность (выборка)- часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.
Для того, чтобы заключение, полученное путем изучения выборки
, можно было распространить на всю генеральную совокупность выборка должна обладать свойством репрезентативности.
Объем выборки - общее число единиц наблюдения в выборочной совокупности. Определение объема выборки представляет собой один из основных этапов ее формирования. Объем выборки для генеральной совокупности обозначается– N, для выборки – n.
Среднее значение выборки можно вычислить по формуле:
Дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. Дисперсия вычисляется по формуле:
- простая дисперсия,
 - взвешенная дисперсия.
Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение ( ).
или
 .
Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности.
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке
X
. Сделать экономический анализ
Известно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Формула расчета коэффициента эластичности:
 Э = f′(x)X/Y,
где f′(x) – первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.
,
 .
Следовательно получим следующее математическое выражение
 .
При заданном значении X=4 получим, что коэффициент эластичности равен Э=0,25.
Допустим, что заданная функция определяет зависимость спроса от цены. В этом случае с ростом цены на 4% спрос повысится в среднем на 0,25 %.
3. Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:
| № завода
|
Фактор
|
Уровень рентабельности,
%
|
| Фондоотдача, грн
|
Производительность труда, грн
|
| 1
|
38,9
|
3742
|
10,7
|
| 2
|
33,3
|
2983
|
11,3
|
| 3
|
37,7
|
3000
|
12,2
|
| 4
|
31,1
|
2537
|
12,4
|
| 5
|
29,4
|
2421
|
10,9
|
| 6
|
37,2
|
3047
|
11,3
|
| 7
|
35,6
|
3002
|
11,1
|
| 8
|
34,1
|
2887
|
14,0
|
| 9
|
16,1
|
2177
|
6,8
|
| 10
|
22,8
|
2141
|
7,1
|
| 11
|
21,7
|
2005
|
8,9
|
| 12
|
26,8
|
1843
|
4,2
|
| 13
|
23,3
|
2031
|
7,4
|
| 14
|
24,5
|
2340
|
11,4
|
| 15
|
19,9
|
1933
|
4,8
|
Нелинейную зависимость принять
Последовательность выполнения задания 3
1. Вводим данные .Определяем основные числовые характеристики.
2. Строим диаграмму рассеивания (корреляционное поле).
3. Определяем тесноту линейной связи по коэффициенту корреляции.
4. Строим линейную модель вида у = bо + b1
*х.
5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R2
. Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера
6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.
7. По полученной модели рассчитываем значение показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза (точку прогноза выбираем произвольно из области прогноза).
8. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d. =
 
9. Рассчитаем доверительный интервал для всех точек выборки и в точке прогноза: (Y-d, Y +d).
10. Рассчитываем коэффициент эластичности:
 Для линейной модели y’
х
= b1
. Получим
 , где у(х) - рассчитанное по модели значение показателя.
11. Строим, используя «Мастер диаграмм», корреляционное поле, график эластичности и доверительную область.
12. Делаем лист с формулами.
Решение 1:
1. Вводим данные. Определяем основные статистики. Строим корреляционное поле. По виду корреляционного поля выдвигаем гипотезу о нелинейной зависимости между X и Y.
2. С помощью формул перехода линеаризуем нелинейную модель:  , V=у. Получаем линейную модель относительно новых переменных
V = b0
+ b1
u
3. Рассчитываем основные числовые характеристики X, Y, V, U с помощью «Мастера функций» и функции «Описательная статистика».
4. Продолжим регрессионный анализ с помощью вкладки «Анализ данных» и функции «Регрессия».
5. Вычислим значения V(U),V min, V max.
6. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d .
7. По формулам обратного перехода пересчитываем значения Y, Ymin (левая граница доверительного интервала»,Ymaх(правая граница доверительного интервала).
8. Рассчитываем коэффициент эластичности
,
9. Строим доверительные области V(U) и Y(х) и график эластичности.
10. Делаем лист с формулами.
Решение 2:
1. Вводим данные.
2. Определяем основные статистики.
3. По корреляционной таблице проверяем факторы на коллинеарность.
4. Строим линейную модель вида y = b0
+b1
х+b2
х.
5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R2
. Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера.
6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.
7. По полученной модели рассчитываем значения показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза(точку прогноза выбрали произвольно из области прогноза).
8. Рассчитываем частичные коэффициенты эластичности:
- по фактору X1
- по фактору Х2
4. Экономический анализ
Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Найдем основные числовые характеристики.
Объем выборки n=15 ‑ суммарное количество наблюдений.
Фондоотдача изменяется от 16,1 до 38,9 грн., уровень рентабельности изменяется от 4,2 до 14%.
Среднее значение фондоотдачи составляет 28,83 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 9,63%.
Среднее значение можно вычислить по формуле:  .
Дисперсия  .
Среднеквадратическое отклонение  7,23, значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7,23 грн.,  2,92, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 2,92%.
Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.
По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график. Точка с координатами ( ) =(28,83;9.63) называется центром рассеяния.
По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X линейная.
Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции (из таблицы регрессионная статистика):
 .
Так как  , то линейная связь между X и Y достаточная.
Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью  .
Параметры  находим по методу наименьших квадратов.
Так как  , то зависимость между X и Y прямая: с ростом фондоотдачи уровень рентабельности повышается. Проверим значимость коэффициентов  .
Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
 .
Значимость  равна  . Это меньше 5%. Коэффициент  статистически значим.
 .
Значимость равна  , что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент  статистически значим.
Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу Дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией  . Остатки, необъясненный разброс  . Общий разброс данных  . Коэффициент детерминации  . Разброс данных объясняется на 50,49% линейной моделью и на 49,51% - случайными ошибками.
Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:  и  . Вычисляем  и  . Находим наблюдаемое значение критерия Фишера  . Значимость этого критерия  , т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель  считается адекватной с гарантией более 95%.
Найдем прогноз.
Примем за точку прогноза значение фондоотдачи 33 грн.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:
 .
Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:
 ,
где  - среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии;  ;
 ‑ критическая точка распределения Стьюдента для надежности  и  ;  .
Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой  , где  , т.е. доверительный интервал для  составит от 6,0157 до 15,6503 с гарантией 95%., т.е. при фондоотдаче 33 грн. Уровень рентабельности составит от 6,0157% до 15,6503%.
Найдем эластичность.
Для линейной модели 
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фондоотдачи на 1% уровень рентабельности увеличится с 10,83% на 0,876%. Т.е. при увеличении фондоотдачи рентабельность растет.
Задание № 3.2
Обозначим производительность труда в расчете на одного работника (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим нелинейную зависимость показателя от фактора вида  . Проанализируем фактор X, используя таблицу описательная статистика.
Производительность труда в расчете на одного работника изменяется от 1843 до 3742 грн. Средняя производительность составляет 2535,27 грн. Отклонение от среднего составляет 546,96.
Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.
По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график.
По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X нелинейная.
Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью .
Перейдем к линейной модели. Делаем линеаризующую подстановку:  . Получим новые данные U и V. Для этих данных строим линейную модель:  . Проверим тесноту линейной связи U и V. Найдем коэффициент корреляции (из таблицы Регрессионная статистика):  .Между U и V достаточная связь.
Параметры  находим по методу наименьших квадратов.
Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
 .
Значимость равна 0,0021, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент статистически значим.
 .
Значимость равна0,00083, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент статистически значим.
Получили линейную модель  .
Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией  . Остатки, необъясненный разброс  . Общий разброс данных  . Коэффициент детерминации  . Разброс данных объясняется на 59,92% линейной моделью и на 40,08% - случайными ошибками.
Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:  и  . Вычисляем  и . Находим наблюдаемое значение критерия Фишера  . Значимость этого критерия  , т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель  считается адекватной с гарантией более 95%. Так как линейная модель адекватна, то и соответствующая ей нелинейная модель адекватна. Находим параметры исходной нелинейной модели:  ;  .
Вид нелинейной функции:  . Таким образом, можно сказать, что зависимость уровня рентабельности от производительности труда можно описать следующей функцией: .
Найдем прогноз. Примем за точку прогноза значение производительности труда 2500 грн.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: .
 .
Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:
 ,
где - среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии;  ;
 ‑ критическая точка распределения Стьюдента для надежности и ;  .
Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой , где  , т.е. доверительный интервал для  составит от 5,35 до 14,03 с гарантией 95%., т.е. при производительности 2500 грн. Уровень рентабельности составит от 5,35% до 14,03%.
Для нелинейной модели найдем доверительный интервал, воспользовавшись обратной заменой:  . Совокупность доверительных интервалов для всех X из области прогнозов образует доверительную область.
Найдем эластичность.
Для линейной модели  тогда  .
Коэффициент эластичности для точки прогноза: 
Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении производительности на 1% уровень рентабельности увеличится с 9,69% на 1.1%. Т.е. при увеличении производительности труда рентабельность растет.
Задание № 3.3
Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х1, Производительность труда в расчете на одного работника (грн) – X2, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим линейную зависимость показателя от факторов.
Прежде чем строить модель проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным строим корреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между X1 и X2 равен 0,87. Так как  , значит X1 и X2 – неколлинеарные факторы. Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью  .
Параметры  находим по методу наименьших квадратов.
 .
Проверим значимость коэффициентов  .
Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
 .
Значимость  равна 0,99, т.е 99% больше 5%. Коэффициент  статистически незначим.
 .
Значимость равна  , т.е. 39,6%, что больше 5%. Коэффициент  статистически незначим.
 .
Значимость равна  , т.е. 35%, что больше 5%. Коэффициент  статистически незначим.
Проверим модель на адекватность.
Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией  . Остатки, необъясненный разброс  . Общий разброс данных  . Коэффициент детерминации  . Разброс данных объясняется на 54,11% линейной моделью и на 45,89% - случайными ошибками.
Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:  и  . Вычисляем  и  . Находим наблюдаемое значение критерия Фишера  . Значимость этого критерия  , т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%.
Модель считается адекватной с гарантией более 95%.
Из полученной модели можно сделать вывод, что уровень рентабельности от фондоотдачи и производительности труда описывается следующей зависимостью: 
Найдем прогноз.
Примем за точку прогноза значение производительности труда 25000 грн, фондоотдачи 33 грн. Получили при данных условиях уровень рентабельности
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:
 .
Найдем эластичность по каждому фактору.
Для линейной модели  , т.е. при производительности труда 2500 грн. и увеличении фондоотдачи с 33 грн. на 1% уровень рентабельности снижается на 0,4736%.
 , т.е. при фондоотдаче 33 грн и увеличении производительности труда с 2500 грн. на 1% уровень рентабельности увеличивается на 0,5243%.
Значит для увеличения рентабельности целесообразнее увеличивать производительность труда.
|
