Частица вращается по окружности , и уравнение движения . Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент .
Найдем угловую скорость
:
;
Линейная скорость находиться по формуле
![](/images/paper/00/97/8979700.png)
![](/images/paper/01/97/8979701.png)
Тангенциальное ускорение
:
, ![](/images/paper/04/97/8979704.png) ![](/images/paper/05/97/8979705.png)
Нормальное ускорение
:
, ![](/images/paper/08/97/8979708.png) ![](/images/paper/05/97/8979705.png)
Полное ускорение
:
, ![](/images/paper/10/97/8979710.png) ![](/images/paper/05/97/8979705.png)
Ответ: тангенциальное ускорение ![](/images/paper/11/97/8979711.png) , нормальное ускорение ![](/images/paper/12/97/8979712.png) , полное ускорение ![](/images/paper/13/97/8979713.png) .
Тело движется вдоль прямой, замедляясь при . В начальной точке скорость была . Какой путь пройдет тело до остановки.
Мгновенная скорость , следовательно ![](/images/paper/17/97/8979717.png)
Мгновенное ускорение
, следовательно ![](/images/paper/19/97/8979719.png)
Получаем равенство ![](/images/paper/20/97/8979720.png)
Проинтегрируем равенство ![](/images/paper/21/97/8979721.png)
![](/images/paper/22/97/8979722.png)
Ответ: тело пройдет путь равный ![](/images/paper/23/97/8979723.png)
На брусок массой , лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, действует сила . При прямолинейном движении угол между силой и горизонтом изменяется по закону , где - постоянная. Найти скорость бруска как функцию от .
Уравнение движения в проекции имеет вид
![](/images/paper/30/97/8979730.png)
Заменим в уравнении , тогда
![](/images/paper/32/97/8979732.png)
Ответ: скорость бруска равна ![](/images/paper/33/97/8979733.png)
Конькобежец массой кг, стоя на коньках на льду, толкает камень кг под углом 30° к горизонту со скоростью ![](/images/paper/35/97/8979735.png) . Найти начальную скорость движения конькобежца.
Импульс и закон сохранения импульса
; ;
Перед броском все тела находились в покое: импульс каждого из них был равен 0, равнялась 0 и их векторная сумма
![](/images/paper/39/97/8979739.png)
В конце броска импульс груза равен , конькобежца - ![](/images/paper/41/97/8979741.png)
В проекции на ось Ox импульс груза равен , конькобежца - .
т.к. , то ![](/images/paper/45/97/8979745.png)
![](/images/paper/46/97/8979746.png) .
Ответ: ![](/images/paper/47/97/8979747.png) ;
Тело массой начинает двигаться вдоль оси со скоростью , где - перемещение. Найти выражение для работы и вычислить работу при кг за 3с движения.
Найдем ускорение как производную от скорости
; ![](/images/paper/54/97/8979754.png) ;
Ускорение постоянно, значит движение равноускоренное. Зависимость скорости от времени.
![](/images/paper/56/97/8979756.png)
Через 3с скорость будет:
![](/images/paper/57/97/8979757.png) ![](/images/paper/36/97/8979736.png)
Работа равна изменению кинетической энергии. Т.к. в начале тело находилось в состоянии покоя:
; кДж
Ответ: ![](/images/paper/60/97/8979760.png) , ![](/images/paper/61/97/8979761.png) ;
Диск массой 10 кг и радиусом 20 см вращается относительно оси симметрии под действием момента сил М = 1,8t2
. Найти угловую скорость колеса через 3 с после начала движения.
Момент инерции диска вычисляется по формуле
; ![](/images/paper/63/97/8979763.png) ![](/images/paper/64/97/8979764.png)
Основной закон динамики вращательного движения
![](/images/paper/65/97/8979765.png)
Проинтегрируем выражение по :
![](/images/paper/67/97/8979767.png)
Т.к. , то ![](/images/paper/69/97/8979769.png)
Через 3с угловая скорость будет
![](/images/paper/70/97/8979770.png) ![](/images/paper/71/97/8979771.png)
Ответ: ![](/images/paper/72/97/8979772.png) ![](/images/paper/71/97/8979771.png)
Найти момент инерции стержни сечением S и плотностью р = p0
(1-r/l) , где l - длина, r - расстояние до оси вращения, проходящей черев конец стержня. Вычислить при р = 7800 кг/м3
, S = 2 см2
и I= 80 см.
Выделим бесконечно тонкий участок стержня толщиной . Его момент инерции:
,
где - масса участка.
Т.к. момент инерции аддитивен, момент инерции всего стержня равен сумме моментов инерции всех его участков.
![](/images/paper/76/97/8979776.png)
![](/images/paper/77/97/8979777.png)
![](/images/paper/78/97/8979778.png)
Ответ: ![](/images/paper/79/97/8979779.png)
На скамье Жуковского I = 50 кг-м2
стоит человек и держит в руках колесо, момент инерции которого 0,25 кг-м2
и скорость вращения 25 рад/с. Ось колеса совпадает с осью скамьи. Найти угловую скорость вращения скамьи и работу внешних сил, если колесо расположить горизонтально.
Когда колесо повернули горизонтально, момент импульса вокруг вертикальной оси сохранился. То есть
,
где - момент инерции колеса, - угловая скорость скамьи, - угловая скорость колеса.
Скамья начала вращаться с угловой скоростью
, ![](/images/paper/85/97/8979785.png)
Скорость и энергия внешних сил колеса почти не изменилась. Работа внешних сил пошла на изменение энергии вращения скамьи и равна:
, ![](/images/paper/87/97/8979787.png)
Ответ: , .
Колебания точки происходят по закону х = Acos(w t+j ). В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см, ее скорость V = 20 см/с и ускорение а = - 80 см/с2
. Найти амплитуду А. циклическую частоту w , период колебаний Т и фазу (w t+j ) в рассматриваемый момент времени.
Запишем закон движения и его производные:
(1),
(2),
(3).
Подставив и в (3), найдем :
, ![](/images/paper/97/97/8979797.png)
Преобразуем формулу (2) следующим образом:
(2’).
Возведем в квадрат (1) и (2’) и сложим:
![](/images/paper/99/97/8979799.png)
см
Период колебаний с.
Найдем фазу: , ![](/images/paper/03/98/8979803.png)
Что соответствует точке на окружности с углом - ![](/images/paper/04/98/8979804.png)
Ответ: см, , с, .
Уравнение колебаний частицы массой 1.6-10 -2
кг имеет вид х = 0,lsin(p t/8 + л/4) (м). Построить график зависимости от времени силы F, действующей на частицу. Найти значение максимальной силы.
Найдем ускорение как вторую производную по :
![](/images/paper/11/98/8979811.png)
Произведение ускорения на массу даст силу:
,
![](/images/paper/13/98/8979813.png)
Значение максимальной силы при ![](/images/paper/14/98/8979814.png)
![](/images/paper/15/98/8979815.png)
![](/images/paper/16/98/8979816.jpeg)
График – синусоида с периодом 16 и смещенная на 2 влево.
Диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, походящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину и период колебаний.
Пусть диск повернулся на малый угол , тогда возвращающий момент сил:
, где - плечо силы.
Момент инерции диска относительно центра:
![](/images/paper/20/98/8979820.png)
относительно оси вращения:
![](/images/paper/21/98/8979821.png)
Тогда уравнение движения имеет вид:
или ![](/images/paper/23/98/8979823.png)
Это уравнение колебаний с частотой:
![](/images/paper/24/98/8979824.png)
У математического маятника ![](/images/paper/25/98/8979825.png)
Значит приведенная длина:
, м.
Период колебаний:
![](/images/paper/28/98/8979828.png)
Ответ: , .
Определить скорость, если разность фаз D j колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на D x = 10 см, равна p /З. Частота колебаний равна 25 Гц.
Отношение разности фаз к расстоянию между точками есть волновое число ![](/images/paper/30/98/8979830.png)
, - длина волны.
Выразим частоту:
,
где - скорость распространения.
![](/images/paper/36/98/8979836.png)
Ответ: .
При изменении давления газа на 200 Па объем газа изменится на 3 л. Если давление изменить на 500 Па, объем изменится на 5 л. Найти начальный объем и давление гaзa. Температура газа сохраняется постоянной.
Используем, что при . Тогда
![](/images/paper/39/98/8979839.png)
.
Аналогично для (2)
![](/images/paper/41/98/8979841.png)
Выразим из (1) и подставим в (2).
![](/images/paper/43/98/8979843.png)
, отсюда .
При и положительных мы не знаем, когда газ сжимается, а когда расширяется. Поэтому выберем все величины отрицательными.
Тогда л. Подставив в формулу для , получим Па.
В обоих случаях газ сжимали.
Ответ: , Па.
Найти с помощью распределения Максвелла <V2
x
> среднее значение квадрата проекции скорости молекулы газа при температуре Т.
Распределение Максвелла по проекциям:
![](/images/paper/51/98/8979851.png)
Среднее значение квадрата проекции ищем по формуле:
![](/images/paper/52/98/8979852.png)
Введем новую переменную ![](/images/paper/53/98/8979853.png)
, , ![](/images/paper/56/98/8979856.png)
![](/images/paper/57/98/8979857.png)
- табличный интеграл.
![](/images/paper/59/98/8979859.png)
Ответ: .
Найти работу, совершающуюся при изотермическом расширении водорода массой 5 г, при температуре 290°К. при увеличении объема газа в три раза.
Количество водорода моль.
![](/images/paper/62/98/8979862.png)
![](/images/paper/63/98/8979863.png)
- при расширении от до .
кДж.
Ответ: кДж.
Во сколько раз увеличится КПД цикла Карно при увеличении температуры нагревателя от t1
= 300°К до T 2
= 380 К при температуре холодильника T2
= 200°К?
КПД находим по формуле
,
где - температура нагревателя, а - температура холодильника.
![](/images/paper/71/98/8979871.png)
![](/images/paper/72/98/8979872.png)
![](/images/paper/73/98/8979873.png)
- во столько раз увеличивается КПД.
Ответ: 1,42.
|