Учебное пособие: Анализ дифференциальных уравнений

Лекция: Анализ дифференциальных уравнений

Содержание

1. Основные понятия

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

2.1 Равноускоренное движение

2.2 Геометрические задачи

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными

1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х , неизвестную функцию y=y (x) и ее производные y’, y’’,.y ^{( n)} F (x, y, y', y ’’ ,.y ⁽ⁿ⁾⁾ = 0.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=y (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Например, уравнение y’’=y’ представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, а функции y (x) = C₁ e ^x + C₂ являются его решениями при любых постоянных C₁ и C₂ .

Процедура поиска решения дифференциального уравнения называется его интегрированием , а графики его решений - интегральными кривыми .

Всякое дифференциальное уравнение порядка n имеет бесчисленное множество решений. Все эти решения определяются функцией, содержащей n произвольных постоянных y =φ (x,C₁ ,C₂ .C_n ). Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения. Частным решением дифференциального уравнения называется всякая функция этого семейства, отвечающая конкретному набору постоянных C₁ ,C₂ .C_n .

Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых плоскости XOY , а частное решение - конкретную кривую этого семейства. Например, непосредственным дифференцированием легко проверить, что общим решением дифференциального уравнения y ¢y x =0 является функция y = . То есть, общее решение уравнения - это семейство окружностей x ² + y² = C² , а

Начальными условиями для дифференциального уравнения порядка n называется набор значений функции y (x) и ее производных порядка n-1 включительно y ¢ (x), y ¢ (x),.y (n1) (x) в некоторой точке x₀ .

Задачей Коши называется задача об отыскании решения дифференциального уравнения F (x, y, y ¢, y ¢,.y (n)) =0, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

y ( x₀ ) = y₀ , y’ ( x₀ ) = y₁ , y’’ ( x₀ ) = y₂ ,. y ( ^{n-1) (} x₀ ) =y_n-1 .

Геометрически это означает, что в общем решении уравнения

y = j (x,C₁ ,C₂ .C_n ) необходимо так подобрать константы C₁ ,C₂ .C_n , чтобы соответствующая им интегральная кривая проходила через точку плоскости (x₀ , y₀ ) и в этой точке имела заданные значения всех своих производных до порядка n-1 . Например, решением задачи Коши y¢y x =0, y (0) =2 является окружность x ² + y² = 4 . Чтобы получить это решение необходимо в общее решение уравнения x ² + y² = C² подставить заданные начальные условия x=0 и у=2 и из него найти требуемое значение постоянной C=2.

Приведем без доказательства одну из основополагающих теорем теории ДУ.

Теорема 1. ( существования и единственности решения задачи Коши)

Если функция F (x, y, y ¢, y ¢,.y ⁽ⁿ⁾⁾ непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей точку (x₀ , y₀ ), то в этой области существует и притом единственно решение дифференциального уравнения F (x, y, y ¢, y ¢,.y ⁽ⁿ⁾⁾ = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y ( x₀ ) = y₀ , y’ ( x₀ ) = y₁ , y’’ ( x₀ ) = y₂ ,. y ( ^{n-1) (} x₀ ) =y_n-1 .

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

2.1 Равноускоренное движение

Пусть в начальный момент времени t=0 материальная точка имеет начальное положение S (0) =0, начальную скорость V (0) = V0 и далее движется прямолинейно с постоянным ускорением a (t) =a . Если S (t) и V (t) - соответственно путь, пройденный точкой за время t , и ее скорость в момент времени t , то, как известно S¢ (t) =V (t) и V ¢ (t) =a (t) =a.

То есть, функция перемещения S (t) является решением дифференциального уравнения S ¢¢ (t) =a . Это решение будем искать, интегрируя уравнение дважды.

V (t) =S ¢ (t) = òS ¢' (t) dt = òadt =at C, V (0) =V₀ ÞC =V₀ Þ V ( t) = V₀  at.

2.2 Геометрические задачи

Пусть, например, требуется найти линию, проходящую через точку А (1,2) и обладающую следующим свойством: для любой ее касательной отрезок этой касательной, заключенный между осями системы координат, в точке касания делится пополам.

Для решения этой задачи обозначим через y (x) уравнение искомой линии и пусть M (x₀ , y₀ ) - ее произвольная фиксированная точка.

Касательная к кривой в этой точке имеет уравнение y - y (x₀ ) = y' (x₀ ) (x - x₀ )

Найдем ординаты точек пересечения этой касательной с осями системы координат.

Ясно, что x_B = 0 и y_C = 0. Тогда:

Так как x₀ - произвольная точка, то искомая функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению первого порядка

Для произвольной постоянной С функция удовлетворяет этому уравнению. Поскольку кривая должна проходить через точку А (1,2), то подставив в это решение x=1 и y=2 , получим С=2 . Решением задачи является гипербола .

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение вида

F (x, y, y ¢) =0.

Далее мы будем полагать, что это уравнение разрешено относительно производной: y ¢ =f (x, y). Это уравнение так же можно записать в дифференциальной форме:

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Общих методов решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует, однако для некоторых важных классов функций f (x,y) такие методы известны и приводят к общему решению уравнения. Рассмотрим некоторые из этих классов.

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Так называется уравнение, правая часть которого представляет собой произведение функции, зависящей только от х , и функции, зависящей только от у .

Для поиска решения такого уравнения выразим входящую в него производную через дифференциалы и перейдем к уравнению в дифференциалах

Теперь разделим переменные

(В последнем уравнении переменные х и у разделяет знак равенства).

Проинтегрировав обе части последнего равенства получаем общее решение уравнения в виде неявно заданной функции:

G (y) =F (x) +C .

Рассмотрим практический пример: Найти общее решение уравнения

y' = y cos x.

Решение . Правая часть уравнения представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит от х , а другая от у . Следовательно - это уравнение с разделяющимися переменными. Выразим производную через дифференциалы и разделим переменные:

Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения:

Пример 2 . Решить задачу Коши

Решение . Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения.

В полученное общее решение подставим заданные начальные условия x=1 и у=1 : 0=ln1=acrtg1+С=π /4+С. Значит, частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, получается из его общего решения при значении постоянной С=-π/4. Решением задачи Коши является функция lny=acrtgx-π/4 , или y = e ^{arctg x - π / 4.}

Однородные уравнения.

Так называются уравнение вида . С помощью замены переменной z (x) =y (x) /x это уравнение может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, тогда

y =x ×z, Þy ¢ = (x ×z) ¢ Þy ¢ =z xz ¢

и для функции z (x) получаем уравнение с разделяющимися переменными

Решив это уравнение, найдем функцию z (x), а с ней и решение исходного уравнения y (x) =x z (x).

Пример 1 . Найти общее решение уравнения

Решение . Разрешим уравнение относительно производной

и обозначим . Тогда и для функции z (x) получаем уравнение:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Выразим в нем производную через дифференциалы и разделим переменные

Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения

Отсюда

Подставив в последнее равенство z=y/x , найдем общее решение исходного уравнения

Пример 2 . Решить задачу Коши

Отсюда z= 2 arctg ( Cx) и, значит, y= 2 x× arctg ( Cx). Подставив в это

равенство начальные условия x=1 и y = π / 2 , получим arctg (C) = π / 4, то есть С=1 . Решением задачи Коши является функция y = 2x × arctgx.

Линейные уравнения.

Так называются дифференциальные уравнения вида

y ¢p (x) y =q (x).

Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций y (x) =u (x) v (x). Тогда y ¢ =u ¢v uv ¢ и относительно функций u и v уравнение примет вид

u ¢v u (v ¢p (x) v) =q (x).

Вместо одной неизвестной функции y (x) мы ввели в рассмотрение две функции u и v , поэтому одной из них мы можем распорядиться по своему усмотрению. Выберем функцию v так, чтобы слагаемое в скобках в левой части последнего уравнения обращалось в ноль. Для этого в качестве v достаточно взять какое-нибудь решение уравнения с разделяющимися переменными

v ¢p (x) v =0 .

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Таким образом, в качестве v достаточно взять функцию

При этом мы можем считать, что константа, возникающая в результате вычисления интеграла, равна нулю. При таком выборе функции v для функции u получаем уравнение

, или

Интегрируя последнее уравнение, получим

Когда функции u и v найдены, общее решение линейного уравнения находится без труда y=uv.

Уравнение Бернулли.

Естественным обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли

y ¢p (x) y =q (x) y^ .

Метод его решения таков же, как и метод решения линейного уравнения.