Задача1
Груз силой тяжести G=350 Н
удерживается тросом, перекинутым через блок А, ось которого укреплена на стержнях АВ и АС. Определить силы реакции в стержнях, если углы на рис.8.1 равны, соответственно: α=60º, β=15º, γ=30º. Рисунок не выдержан в масштабе.
Дано:
G=350 Н
α=60º
β=15º
γ=30
RA
, RB
- ?
T=G, т.к. трение в блоке отсутствует
Запишем уравнение равновесия для стержней. В качестве объекта равновесия примем точку А. Изобразим действующие на нее силы.
ΣFx
=0
Tsin30-RC
sin60-RB
sin75=0
ΣFy
=0
G+Tcos30-RB
cos75-RC
cos60=0
Получили два уравнения с двумя неизвестными. Для упрощения процесса решения подставим числовее значения известных величин.
350sin30-RС
sin60-RB
sin75=-175-0,866RС
-0.966RB
=0
49,6-0,259RB
-0.5 (-202,1-1,1RB
) =51,9+0,291RB
=0
RB
=-51,9/0.291=-178,35 Н
RC
=-202,1-1,1 (-178,35) =-5,92 Н
Знак "-" указывает на то, что силы направлены в сторону противоположную указанной на схеме.
Ответ: RB
=-178,35 Н
RC
=-5,92 Н
Задача 2
По заданному графику проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, построить графики ее перемещения и ускорения. Какой путь прошла точка? На каком максимальном расстоянии от исходного положения она находилась в процессе движения? На каком расстоянии от исходного положения она находится в конце движения?
Для построения графиков перемещения и ускорения необходимо записать уравнения скорости на каждом участке представленного графика.
Участок 1. t от 0 до 10 с
V1
=const=10 м/с
Участок 2. t от 10 до 20 с
V2
=2t-10
Участок 3. t от 20 до 30 с
V3
=const=30 м/с
Участок 4. t от 30 до 40 с
V4
=120-3t м/с
Для построения графиков перемещений проинтегрируем уравнения полученные выше
Найдем константу С. S (0) =0=10·0+C → C=0, S1
=10t
S1
(10) =10·10=100
S2
(10) =102
-10·10+C → C=100
S2
(20) =202
-20·10+100=300
S3
(20) =20·30+C=300 → C=-300
S3
(30) =30·30-300=600
S4
(30) =120·3- 302
+C=600 → C=-1590
Для построения графиков ускорений продифференцируем уравнения скоростей на разных участках
a1
=
a2
=2 м/с2
a3
=0
a4
=-3 м/с2
График зависимости перемещения от времени м/с2
График зависимости ускорения от времени
Путь пройденный точкой численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени
S=10·10+ (10·10+0,5·10·20) +10·30+0,5·10·30=750 v
В данном случае максимальное расстояние от исходного положения составит 750 м, точка в конце движения будет находится также на расстоянии 750 м.
Задача 8.3 В механизме качающегося грохота (рис.8.3) определить угловую скорость кривошипа О2
В=3r и скорость ползуна D при вертикальном положении кривошипа O1
A, если АВ=CD=2r. Отношение BC/CO2
=3/5, угловая скорость кривошипа О1
А равна ω=6 рад/с, углы α=60º, β=45º. Длина кривошипа O1
A равна r=0.1м.
Дано:
O1
A=r=0,1 м
AB=CD=2r=0,2 м
O2
B=3r=0,3 м
ωOA
1
=6 рад/с
α=60º
β=45º
ωO2B
, VD
- ?
Построим положение механизма в соответствии с данными условиями задачи.
Для определения необходимых нам скоростей необходимо провести ряд промежуточных вычислений.
Определим скорость VA
VA
=ωO1A
·r/2=6·0,1=0,6м. с (VA
┴O1
A)
Скорость VA
определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую соединяющую эти точки (прямая АВ).
VA
=VB
cos30 → VB
=0.6/cos30=0,69м/c2
Построим мгновенный центр скоростей (МЦС) - точка лежащая на пересечении перпендикуляров к векторам VA
и VB
ωO
2
B
= рад/с
Определяем VD
. Точка D принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно и стержню CD. Поэтому чтобы найти ее скорость достаточно знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление VD
.
Величину VC
найдем из пропорции
VC
= (VC
┴СМЦС)
Скорость VD
определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня CD) на прямую соединяющую эти точки (прямая CD).
VD
cos45=VC
cos15 → VD
=0,5·cos15/cos45=0,68 м/c2
Ответ: ωO
2
B
= рад/с; VD
=0,68 м/c2
Задача 3
Доска длиной l
=6м, свободно положенная на две разновысокие опоры А и В, получив начальную скорость v0
=0.5м/с, соскальзывает с опор вниз. Упадет ли доска с них, если коэффициент трения между доской и опорами f
=0.6, а размеры на рис.8.4: a=0.3
l,
b=0.5
l,
h=0.14
l.
Дано:
l=6м
v0
=0.5м/с
f=0.6
a=0.3l
b=0.5l
h=0.14l
s - ?
Запишем сразу уравнение равновесия для доски находящейся в покое
ΣF
x
=0-F
трА
+Q
cosα-F
тр
B
=0
F
трА
=F
трВ
=f
·N
=f
·Q
sinα (Ra=Rb=N)
отсюда
Q
cosα-2f
·Qsinα=0
Запишем 3-й закон Ньютона для доски начавшей движение
m
 =mg (cosα-2f
sinα)
=g (cosα-2f
sinα)
Проинтегрируем полученное уравнение
 =Vx
=g (cosα-2f
sinα) t+C1
x
=g
(cosα-2f
sinα) t+C1
t+C2
Найдем неизвестные cosα и sinα
sin2
α+cos2
α=1
Найдем постоянные С1
и С2
При t=0 Vx
(0) =0.5 м/с → С1
=0,5
При t=0 x (0) =0 → С2
=0
Окончательно уравнение движения доски примет вид
V=9.8 (0.28-2·0.6·0.96) t+0,5=-8,55t+0,5
x=-4.27t2
+0.5t
Найдем время, когда доска остановится
V=0 → t=0.5/8.55=0.06 c
Путь пройденный доской за это время
x=-4.27·0.062
+0.5·0.06=0.015 м
Для того чтобы доска упала она должна пройти путь равный длине его верхней части а=0,3·6=1,8 м. В нашем случае это не происходит, следовательно доска не упадет.
Задача 4
На однородной балке массой m=3т (рис.8.5) установлена лебедка силой тяжести G=25кН, поднимающая на тросе, наматывающемся на барабан d=0.1
l
, груз силой тяжести Q=12кН с ускорением а=3м/с2
. Определить нагрузки на опоры А и В, если b=0.4
l,
c=0.2
l
. Массу троса не учитывать.
Дано:
m=3т
G=25кН
d=0.1
l
Q=12кН
а=3м/с2
b=0.4
l
c=0.2
l
RA
, RB
- ?
Запишем уравнения равновесия
ΣF
x
=0 RAx
=0
ΣF
y
=0 RAy
-G-Q- -Mg+RBy
=0
ΣMA
=0 -Gb-Qz-
где 
Получили два уравнения с двумя неизвестными, найдем искомые реакции
RBy
= кН
RAy
=G+Q+ 25+12+3.67-23=17,67 кН
Ответ: RBy
=23 кН, RAy
=17,67 кН
|
