Египет, Вавилон.
Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречалось еще в Древнем Египте и Вавилоне. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось “длиной”, другое -”шириной”. Произведение неизвестных называли “площадью”. В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - “глубина”, а произведение трех неизвестных именовалось “объемом”.
Однако нельзя позволить геометрическим терминам ввести нас в заблуждение. Вавилоняне мыслили, прежде всего, алгебраически. Хотя они изображали для наглядности неизвестные числа линиями и площадями, но последние всё же всегда оставались числами. Это проявлялось уже в том, что с неизвестными величинами, по названию имеющими различные измерения, обращались как с однородными: “площадь” складывали со “стороной”, от “объема” отнимали “площадь” и так далее.
Решение уравнений в Древнем Вавилоне.
Древние египтяне и вавилоняне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. Они не знали ни отрицательных чисел, ни, тем более комплексных и уравнения, не имеющие положительных корней ими не рассматривались. Все задачи и их решения излагались словесно.
В одной из клинописных табличек встречается такая задача: “Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870” (нетрудно догадаться, что речь идет о квадратном уравнении x2
-x=870).
Решение его в табличке рекомендуется искать следующим образом: “Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1, это . Умножаешь на, это . Ты складываешь это с 870, и это есть , что является квадратом для .Ты складываешь, которую ты умножал, с, получаешь 30, сторона квадрата”.
Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления, а мы приводим их в десятичной записи. В привычных нам обозначениях предложенные действия принимают вид: . В этой записи угадывается формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения.
Древняя Греция.
Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. После открытия пифагорейцами несоизмеримых величин чертежи из средства наглядности превратились в основной элемент алгебры.
Наиболее важным, среди приписываемых пифагорейцам 5 века до н.э. достижений, было открытие несоизмеримых отрезков.
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Зарегистрироваться и Начать продвижение
Возникало оно, скорее всего, из попыток найти общую меру диагонали и стороны квадрата.
Это открытие потрясло основы пифагорейской философии. Ведь из него следует, что число не всемогуще, так как существуют отрезки, отношение которых не выражается отношением целых чисел (а других чисел пифагорейцы не знали).
Оказалось, что если не выходить за рамки пифагорейского учения о числе, то многие задачи, приводящие к квадратным уравнениям, вообще не имеют числового решения.
Даже такое простое уравнение, как x2
=2, не может быть решено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел. Но оно оказывалось вполне разрешимым в области прямолинейных отрезков: его решением являлось диагональ квадрата со стороной, равной единице.
Не решаясь изменить свою трактовку числа, пифагорейцы перешли из области чисел в область геометрических величин, построив соответствующее исчисление. Для построения такого исчисления пифагорейская математика располагала всем необходимым. Нужно было только изменить взгляд на роль чертежей, превратив их из средства наглядности в основной элемент алгебры, и логически расположить весь имеющийся материал.
Эта работа была выполнена пифагорейцами, а ее результаты впоследствии включены Евклидом во вторую книгу “Начал”. Новое исчисление получило впоследствии название “геометрической алгебры”. В этом исчислении величины стали изображаться с помощью отрезков и прямоугольников, а любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.
Арабские страны.
Выделение алгебры (как науки об уравнениях) в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности.
В первой половине IX века в Багдаде работал Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми ал-Маджуси (Мухаммед сын Мусы из Хорезма из рода жрецов). Сохранились его сочинения по арифметики, алгебре, астрономии, географии и календарным расчетам. Наиболее значительным является трактат ал-Хорезми по алгебре, в котором он разработал правила преобразования уравнений. Уравнения, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме. Но на этих конкретных примерах ал-Хорезми показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. В греческих традициях он строго геометрически обосновывает свои способы.
Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Зарегистрироваться в сервисе
Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские ученые ( Омар Хайям, ал-Бируни, ал-Каши и др.) Они изучали уравнения третьей и четвертой степени, корни которых находятся при помощи пересечения парабол, гипербол и окружностей. Таким способом решали задачи и греческие геометры. Но арабских ученых, чья математика тяготела к вычислениям, интересовало и численное значение корней.
Франция, Англия.
Геометрический путь, несомненно, был гениальной находкой античных математиков. Но, к сожалению, он сдерживал дальнейшее развитие алгебры. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадратные (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Да и неизвестные в этом случае могут быть только положительными числами. Наконец, вместо алгебраических преобразований приходилось производить геометрические построения, часто очень громоздкие. Чтобы построить неизвестное, иногда нужно было быть подлинным виртуозом - это шло на пользу геометрии, но не алгебре.
В первой половине XVII века значительный шаг вперед в арифметизации алгебры сделал французский ученый Рене Декарт. Он не отделял учение о числах от учения о величинах, не соблюдал принципа однородности и старался освободить алгебру от подчинения геометрии.
В трудах европейских ученых XVII-XVIII веков отчетливо проявляется арифметическое построение алгебры. И если во “Всеобщей арифметике” Ньютона большое место еще занимают геометрические приложения, то уже в “Началах алгебры” Клеро и “Универсальной арифметике” Эйлера все изложение алгебры носило чисто арифметический характер.
|
