Криптосистеми
1. ОБЧИСЛЮВАЛЬНО СТІЙКІ ТА ЙМОВІРНО СТІЙКІ КРИПТОСИСТЕМИ
Криптоаналітик знає криптиосистему, може мати апаратуру, може перехоплювати криптограми. При цьому, криптоаналітик може визначити:
- Мі
→ Сj
– ? ;
- Kij
→ Мі
→ Сj
– ?
Атака при відомих парах повідомлень та криптограм
Мі
→ Сj
; Kij
– ?
Атака з вибором повідомлення
Криптоаналітик знає Мі
та алгоритм зашифровування
(Мі
, Сj
) → Kij
– ?
Атака з вибором криптограм
(Сj
, Мі
) → Kij
Адаптивна атака
Така атака, при якій може здійснюватись зашифровування та розшифровування
Визначення обчислювально стійкої криптосистеми та умови реалізації
Обчислювально стійка криптосистема визначається як така, у якої
 .
Така система може будуватись як і безумовно стійка криптосистема. У обчислювально стійких криптосистемах замість ключової послідовності Кi
використовують Гi
.
Процес – процес гамаутворення (шифроутворення).
Розшифровування здійснюється аналогічно з безумовно стійкою криптосистемою:
Ключ повинен породжуватись рівно ймовірно, випадково та незалежно. Як правило, більшість пристроїв працюють з бітами.
 ,
 .
Функція Ψ, для забезпечення необхідного рівня стійкості, повинна задовольняти ряду складних умов:
1) Період повторення повинен бути не менше допустимої величини:
2)Закон формування гами повинен забезпечувати „секретність” гами. Тобто, Гі
повинна протистояти криптоаналітику
В якості показника оцінки складності гами використовується структурна скритність:
 ,
 ,
де  – повний період;
 – кількість бітів, які криптоаналітик повинен одержати, щоб зробити обернення функції Ψ, тобто знайти ключ.
3)Відновлюваність гами в просторі та часі.
4) Відсутність колізії, тобто, співпадання відрізків гами.
Розглянута система відноситься до класу симетричних.
В якості оцінки стійкості використовується така множина параметрів
 .
1. =128, 192, 256, 512
 .
2.   біт.
3. Безпечний час для атаки типу „груба сила”:
 .
4. Відстань єдності шифру  . Можна показати, що для обчислювально стійкої криптосистеми справедливо співвідношення:
 ,
де  – умовна апостеріорна ентропія криптоаналітика;
 – ентропія джерела ключів;
l – довжина зашифрованого тексту або гами;
d – збитковість мови (під надмірністю d розуміється ступінь корельованості (залежності) символів у мові і не порівняно ймовірностні їхньої появи в повідомленні);
m – розмірність алфавіту.
Криптоаналіз вважається успішним, якщо =0.
Фізичний зміст l0
– мінімальна кількість гами шифрування, яку необхідно достовірно перехопити, щоби мати можливість розв’язати задачу визначення ключа, або обернення функції Ψ. Якщо n < l0
, то однозначно повідомлення.
Імовірно стійка криптосистема відноситься до класу асиметричної:
При відомому одного з цих ключів складність повинна бути не нижче ніж субекспоненціальна
 .
В залежності від виду двохключових перетворень криптоперетворення можна розділити на:
1) криптоперетворення в кільцях. Задача факторизації модуля на два простих числа:
2) криптоперетворення в полях Галуа GF(p). Задача розв’язання обернення функції:
 ,
де  – відкритий ключ;
 – первісний елемент;
 – особистий ключ;
Р – просте число.
3) криптоперетворення в групах точок еліптичних кривих E(GF(q)). Задача розв’язання дискретного логарифму:
 ,
де d – особистий ключ;
Q – відкритий ключ;
G – базова точка;
q – поле.
2. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ КРИПТОПЕРЕТВОРЕНЬ
Криптоперетворення розподіляються на:
- симетричні, якщо виконується умова:
 ,
або ключ обчислюється не нижче ніж з поліноміальною складністю;
-асиметричні, якщо виконується умова:
 ,
або ключ може бути обчислений при знанні іншого не нижче ніж з субекспоненційною складністю.
Поліноміальною складністю називається така складність, при якій n входить в основу:
Субекспоненційною складністю називається така складність, при якій n входить в показник:
 .
Основною ознакою для таких криптоперетворень являється ключ (або ключі). Кожне криптоперетворення задається прямим і зворотнім перетворенням:
Основні асиметричні криптоперетворення по математичному базису:
1)перетворення в полях GF(p);
2)перетворення в кільцях NZ
;
3)перетворення на еліптичних кривих EC.
Основні симетричні криптоперетворення по математичному базису:
1) афінні:
 ,
де А – деяка матриця;
2) нелінійні: не можна представити у вигляді лінійної функції.
В залежності від виду симетричні криптоперетворення діляться на:
- підстановка;
- гамування;
- управляємий зсув бітів;
- перестановка і інші елементарні перетворення.
Сутність асиметричних криптоперетворень в кільці
Нехай Мі
– блок інформації, який треба захистити. Представимо цей блок у вигляді числа lM
. Використовується ключова пара (Ек
, Dк
), що породжується випадково.
Пряме перетворення:
 ,
де  - функція Ейлера.
 .
Зворотне перетворення:
 ,
т.ч. перетворення зворотне і однозначне.
Стійкість проти атак в кільці визначається складністю факторизації числа N на прості числа P та Q.
Сутність асиметричних криптоперетворень в полі
Нехай є просте поле Галуа GF(p). Для кожного p існує множина первісних елементів:
 .
Кожний первісний елемент породжує поле:
 .
Криптоперетворення пов’язані з побудуванням пари ключів. Нехай є два користувачі А та В.
| А |
В |
| ХА
|
ХВ
|
 |
 |
де ХА
, ХВ
– випадкові ключі довжиною lk
;
YА
, YВ
– відкриті ключі.
При побудуванні використовуються властивості поля.
 ,
де r – сеансовий ключ.
Користувач А передає користувачу В пару  . Потім користувач В обчислює:
 .
Таким чином, перетворення в полі є зворотнім та однозначним.
Модель криптоаналітика заключається в тому, що необхідно знайти ХВ
. Реалізуючи рівняння відносно ХВ
одержимо секретний ключ. Стійкість проти атак в полі визначається складністю розв’язання рівняння .
Сутність асиметричних криптоперетворень в групі точок еліптичних кривих
За 20 років розроблено нові математичні апарати, які дозволяють ефективно розв’язувати рівняння, що реалізовані в полях та кільцях. В 90-х роках було запропоновано використовувати криптоперетворення, що базуються на перетвореннях в групі точок еліптичних кривих над полями GF(p), GF(2m
), GF(pm
).
Для випадку простого поля:
елементом перетворення є точка на еліптичній кривій, тобто  ,що обчислюється за модулем р. Формується ключова пара:
 , де  .
 ,
де G – базова точка на еліптичній кривій порядку
QA
– відкритий ключ, точка на еліптичній кривій з координатами (ха
, уа
).
Задача криптоаналітика знайти таємний ключ dA
. Складність розв’язку цього рівняння набагато вище, ніж в полі. В полі – субекспоненційна складність, а в групі точок еліптичних кривих – експоненційна складність.
3. СИМЕТРИЧНІ КРИПТОПЕРЕТВОРЕННЯ
Застосовувані на практиці криптоперетворення розділяють на 2 класи по стійкості:
1. обчислювально стійкі.
2. ймовірно стійкі (доказово стійкі).
Основним показником, по якому оцінюються такого роду системи є безпечний час:
Nвар – кількість команд, операцій для рішення задачі криптоаналізу.
g - продуктивність криптосистеми, вар/сек.
k – коефіцієнт кількості сек/рік 
Рр – імовірність рішення задачі.
ВР і ДС повинні задовольняти. До доказово стійких перетворень відносять перетворення з відкритими ключами, з відкритим поширенням ключів і т.д. У цих системах задача криптоаналізу полягає в рішенні якоїсь іншої математичної задачі. Обчислювально стійкі системи реалізуються за рахунок застосування симетричних криптоперетворень.
У симетричних криптосистемах ключ зашифрування або збігається з ключем розшифрування, або обчислюється один з іншого з поліноміальною складністю.
Поліноміальна складність
Нехай n – розмірність вхідних даних, що підлягають криптоперетворенню і нехай t(n) є складність перетворення цих даних у сек. тактах, командах. Складність називають поліноміальної, якщо вона представлена:
 - набір констант.
 - експонентна складність
В даний час як функцію f реалізуючої криптоперетворення використовуються афінні шифри.
Афінне перетворення – перетворення, яке можна одержати комбінуючи рухи, дзеркальні відображення і гомотепію в напрямку координатних осей.
Гомотепія – перетворення простору чи площини щодо точки по направляючим осях з коефіцієнтами.
До афінних шифрів відносяться шифри зрушення, лінійні афінні шифри.
У потокових криптоперетвореннях об'єктами взаємодії є символи повідомлення Мi і символи ключа Kj, причому з використанням символів ключа формується Гi.
Мi , Kj , 
Рис 1Розшифрування:
При обчисленні необхідно строго синхронізувати по i, тобто: Гi при розшифруванні і зашифруванні та сама.
М – ічне шифрування (по mod).
Приклад:
 
Двійкове гамування
Гi повинна породжуватися псевдовипадковим чи випадковим процесом. Реалізація процесу повинна залежати від вихідного ключа.
Правильне розшифрування виконується за умови, що відправник і одержувач використовують той самий ключ, вони можуть сформувати однакові гами. Необхідно забезпечити синхронізацію по i.
Симетричні криптоперетворення, якщо або:
 ,
або можуть бути обчислені один при знанні іншого не нижче ніж з поліноміальною складністю.
Симетричні шифри діляться на блокові та потокові шифри.
Блокові симетричні шифри використовуються в чотирьох режимах роботи:
1)блокового шифрування;
2)потокового шифрування;
3)потокового шифрування зі зворотнім зв’язком по криптограмі;
4)вироблення імітоприкладки;
5)вироблення псевдопослідовностей (ключів).
Побудування таких шифрів здійснюється на використані декількох елементарних табличних або криптографічних перетворень. До них відносяться:
- афінні перетворення;
- перетворення типу підстановка (перестановка) символів;
- гамування (складання з ключем);
- аналітичної підстановки (заміни).
Основні криптоперетворення симетричного типу
Афінний шифр
Твердження 1
Нехай  є мова за алфавітом  і алфавіт мови співпадає з алфавітом криптограми. Кожному символу поставлене  число. Тоді існує афінний шифр з ключем  , елементами якого є:
 ,
якщо найменший спільний дільник  .
В афінному шифрі зашифровування здійснюється таким чином:
 ,
а розшифровування:
 ,
де
 ,
 .
Цей шифр є однозначно зворотнім.
Лінійний шифр
Твердження 2
Якщо в афінному шифрі  , то існує лінійний взаємозворотній шифр, у якому зашифровування здійснюється як:
 ,
а розшифровування:
 .
Твердження 3
Якщо в афінному шифрі  , то існує адитивний однозначно зворотній шифр правилом шифрування:
 ,
 .
доведення здійснюється з урахуванням афінного шифру
 .
У вказаних шифрах вимога не виконується. Симетрія шифру заключається в тому, що ключі поліноміально легко зв’язані і один може бути легко визначени при знанні іншого.
Шифр „Підстановка в полі”
Розв’язок можна звести до розв’язку діафантового рівняння:
 .
Таким чином:
 .
 .
Нехай  , таким чином поліном  :
 .
Як правило, таке перетворення використовується як табличне. Воно здійснюється без ключа, ключем може бути тільки примітивний поліном.
|
