Учебное пособие: Перпендикуляр

– Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась?

– Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве?

– Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

– В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии.

– Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости.

– Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»?

– А какие задачи решали?

– Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь?

– А что значит привести знания в систему?

– Правильно. А как будет звучать тема сегодняшнего урока?

– Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему.

–Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.

– Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы.

– Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе.

– Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения.

– Перпендикулярность прямых и плоскостей.

– Перпендикулярность каких объектов мы изучили?

– Будем работать с таблицей.

< Открывает заголовок таблицы 1>

– Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными?

– Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок>

– Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали?

– Сформулируйте ее. < Открывает рисунок>

– Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения.

< Открывает рисунок>

– В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их.

<Открывает соответствующие рисунки>

– В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней.

А как вы думаете почему?

–Молодец! Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными?

–Какие факты можно отнести в эту часть?

– Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их – заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность – мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7.

–Хорошо. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …».

<Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев>

– Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.

– Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰ .

– Они могут пересекаться и скрещиваться.

– Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей.

<Формулируют>

– Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

– Признак перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>.

– Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <формулирует>.

– Теорема о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <формулирует>.

– Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости.

– Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰ .

–Признак перпендикулярности двух плоскостей.

- Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если

- одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна;

- одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости;

- одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой.

<Ученики формулируют следующие эвристики:

Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если

- прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости;

- прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости;

- данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой.

Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. >

–Давайте теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства.

– Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй – перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд – пары перпендикулярных плоскостей. Даю вам 5 минут.

– Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик>

–Хорошо. Послушаем теперь второй ряд.

–Третий ряд, пожалуйста.

<Работают>

< Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали>

– DO^AB (DO^ABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости , DO, в частности, перпендикулярно АВ)

– DO^AC, DO^BC (аналогично)

– DC^AB(по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме).

–DO^ABC(по условию).

–AB^COD,CO^ADB(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

–DAB^ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)

–DOC^ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)

–DOC^ADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).

Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»>

<Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице>

–Что называется расстоянием от точки до прямой?

–Какие еще расстояния можете назвать?

– Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний.

– То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице.

– Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в пространстве»>

– Опишите это понятие.

<Открывает соответствующий рисунок>

– Какие еще углы вы знаете?

– Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников.

– Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой.

– От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости.

– Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой.

– Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

– Между параллельными плоскостями – расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой.

– Между скрещивающимися прямыми– расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой.

– Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали его в треугольник.

– Угол между прямыми.

– Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними.

– Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

– И угол между плоскостями – это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении.

– Вернемся к задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление.

– Начнем с первого задания.

– Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай.

–Второй ряд, пожалуйста.

–И последний угол?

–Дорешаете дома.

–Следующее задание. Найдите расстояния от т.D до пл. АВС, от С до АDВ, от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку.

–Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.

Эту задачу будем решать на новом рисунке.

–Итак, начнем.

–Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок. Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его.

– Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС?

– Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости?

– То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует?

– А через какую точку пройдет проекция наклонной?

– Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать?

– А если бы мы и о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС?

– Как найти DК?

– Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске.

– Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7.

– Назовите их и докажите.

–Как их найти?

– Так как ОD^АВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно ÐDАО – угол между DА и АВС.

– Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ.

–Угол между DВ и АВС – это ÐDВО.

–Угол между DС и АВС – это ÐDСО.

– Так как DО – перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО – искомое расстояние.

– Мы доказывали, что СО^DАВ, значит СО–расстояние от С до DАВ.

–АВ^DОС, то АО–расстояние от А до DОС.

Так как DО перпендикулярно АВ, то DО – расстояние между D и прямой АВ.

–АВС.

– Наклонной.

– Она должна быть перпендикулярной к проекции.

– Через точку О, так как она проекция точки D.

– Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М–середина ВС, тогда АМ – медиана правильного ∆АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОК^ВС, и ОК–проекция DК на АВС. При этом DК^ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК–расстояние от точки D до прямой ВС.

– Произвольно.

– Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК – средняя линия ∆АМВ.

– Аналогично, причем DL равно DК.

– Они уже построены.

–ÐDКО – линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, ÐDLО – линейный угол двугранного угла при ребре АС.

– Например, ÐDКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО.

– Это все задания, которые мы планировали решить на уроке.

– А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости.

– Какие типы задач нами были рассмотрены?

–Как вы думаете какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии?

–на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями.

–позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами.

– Что вы теперь умеете делать?

– Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления.

AM ^ α

AM ^ β

AM ^ β

0°< φ ≤ 90°

0°< φ < 90°

0°< φ ≤ 90°

Перпендикулярные

прямые

Перпендикулярные

плоскости