Контрольная работа: Эконометрика

ЗАДАНИЕ

Задача 1. Используя метод парного корреляционно-регрессионного анализа выявить зависимость между объемом продаж (Y) и расходами на рекламу (X). Постройте поле корреляции. Для аппроксимации используйте как минимум 3 вида зависимостей (прямолинейную, параболическую и логарифмическую). Оценить тесноту связи и точность аппроксимации, сделайте выводы о возможности использования модели для прогнозирования.

Задача 2 Определить зависимость между фактором и результатирующим признаком по данным, приведенным в таблице. Рассчитать коэффициент корреляции, определить вид зависимости, параметры линии регрессии, корреляционное отношение и оценить точность аппроксимации.

РЕШЕНИЕ

Задача 1

Поле корреляции:

1. Прямолинейная зависимость

Уравнение прямой y = a+ bx , таким образом, используя метод наименьших квадратов, минимизируем функцию . Для нахождения коэффициентов a и b, продифференцируем по каждому параметру a и b приравняем, 0 и получим систему уравнений.

Для вычисления параметров a и b прямой заполняем расчетную таблицу:

X	Y
1	X	Y	87.02	0.09	49.31	4055.68
2	9	80	139.97	0.08	99.37	187.26
3	12	130	139.97	0.40	1597.49	1908.31
4	12	100	139.97	0.07	100.63	39.89
5	12	150	139.97	0.07	100.63	39.89
6	12	150	157.62	0.42	12629.81	15955.68
7	13	270	175.27	0.03	27.74	692.52
8	14	170	122.32	0.06	58.99	187.26
9	11	130	87.02	0.03	8.87	2881.99
10	9	90	104.67	0.13	234.98	560.94
11	10	120	122.32	0.22	498.17	1908.31
12	11	100	139.97	0.17	398.75	560.94
13	12	120	192.92	0.12	733.58	5824.10
14	15	220	139.97	0.08	99.37	187.26
15	12	130	122.32	0.06	58.99	187.26
16	11	130	175.27	0.35	2049.05	187.26
17	14	130	139.97	0.17	398.75	560.94
18	12	120	192.92	0.12	733.58	5824.10
19	15	220	210.56	0.24	1645.46	692.52
16	170	2.89	21523.51	42442.11

r = 0.88

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

= 14.17 %

Уравнение аппроксимирующей прямой

=0.88

2. Параболическая зависимость

Уравнение параболы y = a + bx + cx² . Сделаем замену x=x₁ , x² =x₂ , перейдем к уравнению: y = a + bx₁ + cx_2. Продифференцируем по каждому параметру a, b и с, приравняем к 0, получим систему уравнений:

Для вычисления параметров a, b и с заполняем расчетную таблицу:

Получим систему уравнений:

19a+253b+3481c=3041

253a+3481b+49381c=42931

3481a+49381b+720697c=624261

Решим данную систему средствами Matlab:

>> a=[19 253 3481;253 3481 49381;3481 49381 720697]

a =

19 253 3481

253 3481 49381

3481 49381 720697

>> b=[3041;42931;624261]

b =

3041

42931

624261

>> format long

>> a\b

ans =

70.030968707669246

-8.789656532559803

1.130190950098223

Таким образом, a=70.030968707669246

b= -8.789656532559803

c=1.130190950098223

Уравнение аппроксимирующей параболы

X	Y
1	12	130	127.30	0.02	7.28	903.16
2	13	170	146.77	0.14	539.74	98.95
3	12	110	127.30	0.16	299.38	2505.27
4	11	121	110.10	0.09	118.86	1525.11
5	15	130	192.48	0.48	3903.64	903.16
6	12	120	127.30	0.06	53.33	1604.21
7	11	110	110.10	0.00	0.01	2505.27
8	8	70	72.05	0.03	4.19	8109.48
9	12	140	127.30	0.09	161.22	402.11
10	12	120	127.30	0.06	53.33	1604.21
11	13	150	146.77	0.02	10.45	101.06
12	12	120	127.30	0.06	53.33	1604.21
13	14	200	168.49	0.16	992.68	1595.79
14	13	130	146.77	0.13	281.16	903.16
15	15	240	192.48	0.20	2258.24	6391.58
16	16	200	218.73	0.09	350.64	1595.79
17	17	290	247.23	0.15	1829.10	16886.32
18	18	290	278.00	0.04	144.02	16886.32
19	17	200	247.23	0.24	2230.86	1595.79
253	3041	2.21	13291.44	67720.95

r = 0.88

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

= 11.65%

= 0.90

Поскольку >r, то кривая лучше аппроксимирует зависимость

3. Логарифмическая зависимость

y = a + b lnx

После замены lnx=z получим линейную зависимость, формулы для вычисления коэффициентов которой известны. После обратной замены получим:

a= -542.07

b=273.01

Уравнение аппроксимирующей логарифмической зависимости

X	lnX	Y
1	12	2.48	130	136.33	0.05	40.09	903.16
2	13	2.56	170	158.18	0.07	139.61	98.95
3	12	2.48	110	136.33	0.24	693.36	2505.27
4	11	2.40	121	112.58	0.07	70.95	1525.11
5	15	2.71	130	197.25	0.52	4522.87	903.16
6	12	2.48	120	136.33	0.14	266.73	1604.21
7	11	2.40	110	112.58	0.02	6.64	2505.27
8	8	2.08	70	25.64	0.63	1968.20	8109.48
9	12	2.48	140	136.33	0.03	13.46	402.11
10	12	2.48	120	136.33	0.14	266.73	1604.21
11	13	2.56	150	158.18	0.05	66.98	101.06
12	12	2.48	120	136.33	0.14	266.73	1604.21
13	14	2.64	200	178.42	0.11	465.85	1595.79
14	13	2.56	130	158.18	0.22	794.35	903.16
15	15	2.71	240	197.25	0.18	1827.37	6391.58
16	16	2.77	200	214.87	0.07	221.18	1595.79
17	17	2.83	290	231.42	0.20	3431.25	16886.32
18	18	2.89	290	247.03	0.15	1846.60	16886.32
19	17	2.83	200	231.42	0.16	987.41	1595.79
å	48.86	3041	3.18	17896.35	67720.95

r=0.86

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

=16.71%

=0.86

4. Вывод о возможности использования модели для прогнозирования

Для аппроксимации было использовано 3 вида зависимостей: прямолинейная, параболическая, логарифмическая.

прямолинейная	параболическая	логарифмическая
Уравнение
r	0.88	0.88	0.86
	0.88	0.90	0.86
	14.17 %	11.65%	16.71%

Во всех случаях связь прямая и тесная. Точнее всего аппроксимирует парабола, поскольку >r, минимальна и равна 11.65%.

Прямая аппроксимирует зависимость менее точно, т.к. больше - 14.17 %.

Наименее точно аппроксимирует логарифмическая зависимость, т.к. максимальна и равна 16.71%.

Вывод: наилучшая модель для прогнозирования – параболическая, наихудшая – логарифмическая. Это объясняется тем, что выпуклость данных кривых различна.

Задача 2

Используем линейную зависимость. Коэффициенты прямой находятся по формулам

Поле корреляции:

N=20

a = -0.14

b= 0.47 => y = -0.14 + 0.47 x

X	Y
1	6.3	3.2	2.79	0.13	0.17	3.61
2	1.1	0.5	0.37	0.26	0.02	0.64
3	2.9	1.2	1.21	0.01	0.00	0.01
4	2.5	1	1.02	0.02	0.00	0.09
5	2.3	0.5	0.93	0.86	0.18	0.64
6	4.7	1.6	2.05	0.28	0.20	0.09
7	2.5	0.8	1.02	0.28	0.05	0.25
8	3.6	1.3	1.54	0.18	0.06	4.93038E-32
9	5	2.1	2.19	0.04	0.01	0.64
10	0.7	0.3	0.19	0.38	0.01	1
11	7	3.2	3.12	0.03	0.01	3.61
12	1	0.5	0.32	0.35	0.03	0.64
13	3.1	1.4	1.30	0.07	0.01	0.01
14	2.8	1.8	1.16	0.35	0.41	0.25
15	1.4	0.3	0.51	0.70	0.04	1
16	1	0.4	0.32	0.19	0.01	0.81
17	5.1	2.3	2.23	0.03	0.00	1
18	2.6	1	1.07	0.07	0.00	0.09
19	3.8	1.3	1.63	0.25	0.11	4.93038E-32
20	2.5	1.3	1.02	0.21	0.08	4.93038E-32
61.9	26	4.69	1.39	14.38

Коэффициент корреляции r находится по формуле:

r = 0.95

r > 0, следовательно, связь прямая.

|r|>0.65 – связь тесная

Корреляционное отношение = 0.95

Точность аппроксимации= 23.47%