Дисциплина: Высшая математика
Тема: Полное исследование функций и построение их графиков.
1. Возрастание и убывание функции
Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.). Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.
Рассмотрим вначале, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. В п. 8.2 были даны определения монотонно убывающей и возрастающей функции. Исходя из этого, можно сформулировать простые теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.
Теорема 1.1
. Если функция  , дифференцируемая на интервале  , монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке  ; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала
 .
Доказательство. Пусть функция монотонно возрастет на , значит, исходя из определения 8.2.2, для любого достаточно малого  выполняется неравенство:  (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Рассмотрим предел  . Если  , то  , если  , то  . В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть , что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.
Теорема 1.2
. Если функция непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того, для любого  , то данная функция монотонно возрастает на ; если для любого , то данная функция монотонно убывает на
.
Доказательство. Возьмем 
и 
, причем  . По теореме Лагранжа (п. 14.2),  . Но  и  , значит,  , то есть  . Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Зарегистрироваться и Начать продвижение
2. Экстремумы функции
При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания.
Определение 2.1
. Точка  называется точкой максимума функции , если для любого, сколь угодно малого  ,  , а точка  называется точкой минимума, если
 .
Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 2.1).
Рис. 2.1
Теорема 2.1 (необходимое условие существования экстремума)
. Если дифференцируемая на интервале функция имеет в точке из этого интервала максимум, то ее производная в этой точке равна нулю. То же самое можно сказать и о точке минимума
.
Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля (п. 14.1), в которой было показано, что в точках минимума или максимума  , и касательная, проведенная к графику функции в этих точках, параллельна оси  .
Из теоремы 2.1 вытекает, что если функция имеет производную во всех точках, то она может достигать экстремума в тех точках, где .
Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции  в точке  производная равна нулю, однако экстремума в этой точке нет. Кроме того, экстремум может быть в тех точках, где производная не существует. Например, у функции  есть минимум в точке , хотя производная в этой точке не существует.
Определение 2.2
. Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции
.
Следовательно, теоремы 2.1 недостаточно для определения экстремальных точек.
Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума)
. Пусть функция непрерывна на интервале , который содержит ее критическую точку  , и дифференцируема во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, самой точки . Тогда, если при переходе этой точки слева направо знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума, и, наоборот, с минуса на плюс – точка минимума
.
Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки слева направо с плюса на минус, то функция переходит от возрастания к убыванию, то есть достигает в точке своего максимума и наоборот.
Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Зарегистрироваться в сервисе
Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум:
1) находят область определения функции;
2) вычисляют производную  ;
3) находят критические точки;
4) по изменению знака первой производной определяют их характер.
Не следует путать задачу исследования функции на экстремум с задачей определения минимального и максимального значения функции на отрезке. Во втором случае необходимо найти не только экстремальные точки на отрезке, но и сравнить их со значением функции на его концах.
3. Интервалы выпуклости и вогнутости функции
Еще одной характеристикой графика функции, которую можно определять с помощью производной, является его выпуклость или вогнутость.
Определение 3.1
. Функция называется выпуклой на промежутке , если ее график расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке, и наоборот, называется вогнутой, если ее график окажется выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке
.
Докажем теорему, позволяющую определять интервалы выпуклости и вогнутости функции.
Теорема 3.1
. Если во всех точках интервала вторая производная функции  непрерывна и отрицательна, то функция выпукла и наоборот, если вторая производная непрерывна и положительна, то функция вогнута
.
Доказательство проведем для интервала выпуклости функции. Возьмем произвольную точку  и проведем в этой точке касательную к графику функции (рис. 3.1). Теорема будет доказана, если будет показано, что все точки кривой на промежутке лежат под этой касательной. Иначе говоря, необходимо доказать, что для одних и тех же значений  ординаты кривой меньше, чем ординаты касательной, проведенной к ней в точке .
Рис. 3.1
Для определенности обозначим уравнение кривой:  , а уравнение касательной к ней в точке :  или  . Составим разность  и  :
 .
Применим к разности  теорему о среднем Лагранжа (п. 14.2):
 ,
где  .
Применим теперь теорему Лагранжа к выражению в квадратных скобках:
 ,
где  . В нашем случае, как видно из рисунка,  , тогда  и  . Кроме того, по условию теоремы,  . Перемножая эти три множителя, получим, что  , что и требовалось доказать.
Определение 3.2
. Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба
.
Из определения 3.1 следует, что в данной точке касательная пересекает кривую, то есть с одной стороны кривая расположена ниже касательной, а с другой – выше.
Теорема 3.2
. Если в точке вторая производная функции равна нулю или не существует, а при переходе через точку знак второй производной меняется на противоположный, то данная точка является точкой перегиба
.
Доказательство данной теоремы следует из того, что знаки по разные стороны от точки различны. Значит, с одной стороны от точки функция выпукла, а с другой – вогнута. В этом случае, согласно определению 3.2, точка является точкой перегиба.
Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум.
4. Асимптоты функции
В предыдущих пунктах были рассмотрены методы исследования поведения функции с помощью производной. Однако среди вопросов, касающихся полного исследования функции, есть и такие, которые с производной не связаны.
Так, например, необходимо знать, как ведет себя функция при бесконечном удалении точки ее графика от начала координат. Такая проблема может возникнуть в двух случаях: когда аргумент функции уходит на бесконечность и когда при разрыве второго рода в конечной точке уходит на бесконечность сама функция. В обоих этих случаях может возникнуть ситуация, когда функция будет стремиться к некоторой прямой, называемой ее асимптотой.
Определение
. Асимптотой графика функции называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат
.
Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные.
К вертикальным асимптотам относятся прямые линии  , которые обладают тем свойством, что график функции в их окрестности уходит на бесконечность, то есть, выполняется условие:  . Очевидно, что здесь удовлетворяется требование указанного определения: расстояние от графика кривой до прямой стремится к нулю, а сама кривая при этом уходит на бесконечность. С таким поведением функций мы сталкивались в п. 11.1, когда речь шла о разрывах второго рода. Итак, в точках разрыва второго рода функции имеют вертикальные асимптоты, например,  в точке . Следовательно, определение вертикальных асимптот функции совпадает с нахождением точек разрыва второго рода.
Наклонные асимптоты описываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть  . Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа  и  .
Итак, пусть кривая имеет наклонную асимптоту, то есть при  точки кривой сколь угодно близко подходят к прямой  (рис. 4.1). Пусть  – точка, расположенная на кривой. Ее расстояние от асимптоты будет характеризоваться длиной перпендикуляра  . Согласно определению,  . Но вычисляется довольно сложно, гораздо проще найти  .
Из треугольника  следует, что  , так как  . Значит,  . Итак,  .
Но выше было сказано, что  , откуда следует, что  . Вынесем в данном выражении за скобки:  . Так как по условию , то  . Здесь  , следовательно,  , откуда получаем:
 .
Рис. 4.1
Зная , рассмотрим снова предел:  . Он выполняется лишь при условии, что
 .
Таким образом, найдены и , а с ними и уравнение наклонной асимптоты. Если  , то получаем частный случай горизонтальной асимптоты  . При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении или ) делается вывод, что наклонной асимптоты нет.
Аналогично проводится исследование и при  .
5. Общая схема исследования функций
На основании приведенных результатов можно провести полное исследование функции с качественным построением ее графика. План этого исследования следующий:
1) находят область определения функции;
2) определяют точки разрывов функции и их характер;
3) находят корни функции;
4) определяют четность или нечетность функции;
5) проверяют функцию на периодичность;
6) вычисляют производную функции, находят ее критические точки, находят интервалы монотонности и экстремумы;
7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;
8) находят асимптоты функции;
9) по полученным данным строят качественный график исследуемой функции.
Литература
1.Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с.
2.Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с.
3.Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.
4.Мироненко Е.С., Розанова С.А., ред., др, Розановой С.А., Кузнецова Т.А. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2009. – 168c.
5.Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2007. – 200c.
6.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика. Сталкер, 1997. – 560 с.
|
