КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ВАРИАНТ 4.3
№ 1.
а) Найти производные от данных функций:
б) 
Применяем правило нахождения производной произведения функций
в)
№ 2
Дана функция 
Найти:
а) координаты вектора gradu в точке А (-1,3,2)
По определению:
б)  в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}
По определению:
Величины  найдены в п.а)
Найдем cosб, cosв, cosг.
По формуле получаем:
№ 3.
Дана функция  .
Найти y”. Вычислить y”(-1).
№ 4.
Доказать, что функция  удовлетворяет уравнению
подставляем найденные выражения в уравнение, получаем:  , что и требовалось доказать.
№5
Найти  если 
Вычислить если  .
Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически
№ 6.
Функции задана неявно уравнением
Вычислить:
а) 
Вычисления проводим по формуле
б)
№ 7.
На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.
Из геометрического смысла производной  имеем
№ 8.
Найти dy, если у=х6
. Вычислить значение dy, если
Для  имеем
№ 9.
Дана функция  и точки  и 
Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0
в точку М1
. Приращение функции Дz равно
Дифференциал функции dz равен
№ 10.
Дана функция  . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем 
Приравниваем числитель к нулю при условии 
Решение  отбрасываем.
 совпадает с граничным значением.
Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.
Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно  , наименьшее равно 3.
№ 11
Дана функция  .
Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми  .
Найдем стационарные точки из системы уравнений
Решаем систему уравнений
Сделаем чертеж
На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем  , отсюда  . Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.
На участке у=-1 получаем
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем  , отсюда  .
Находим
На участке границы у=1-х получаем функцию
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].
На границах отрезка
Сравниваем все найденные значения функции
видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).
Ответ: 23;4.
№ 12.
Провести полное исследование функции  и начертить ее график.
1. Найдем область определения функции  .
Функция непериодична.
2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции  , симметрии нет.
3. Определим «поведение функции в бесконечности»
4. Точка разрыва х=-2
5. найдем пересечение кривой с осями координат
 т.А (0;2)
Корней нет, нет пересечения с осью OY.
6. Найдем точки максимума и минимума
в точке  производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке  производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.
При  первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при  производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.
7. Найдем точки перегиба
 , точек перегиба нет. При  вогнутость вверх, при  , вогнутость вниз.
8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде  , где
Получили асимптоту у=х.
Найдем пересечение кривой с асимптотой
 Точек пересечения нет.
Строим график
|
