Выведены формулы (возможно ранее неизвестные, в широко доступной литературе не встречаются) для решений уравнения Пифагора x^2 + y^2 = z^2. Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян. Формулы древних индусов:
x= a
– b, y=2ab, z= a+ b
, a > b.
Вывод других формул
Известно, что уравнение x
+ y
= z
(1)
имеет целые решения, например, общеизвестные тройки чисел Пифагора. Таких решений, доказал ещё Евклид, имеется бесконечное множество. Тройку целых положительных чисел x
,
y
,
z не имеющих общих делителей, назовём оригинальным решением уравнения (1). Далее оригинальные решения будут обозначаться большими буквами X
,
Y
,
Z. Пусть далее везде x
< y
< z
.
Так как x
, y
и z
числа целые, то существуют целые положительные числа a
иb
,
такие, что x
= z
– a
и y
= z
– b
,
где b
< a
,
так как по условию x
< y
. Тогда уравнение (1) запишется следующим образом: (
z
-
a
)
+ (
z
-
b
)
= z
(2).
После возведения в степень и группирования из (2) получится следующее уравнение:
z
– 2 (
a
+
b
)
z
+ (
a
+
b
) = 0
(3).
В результате решения уравнения (3) относительно z
получим:
z
=  + a
+ b
;
x
= + b
;
y
= + a
;
(4).
Корень не может быть отрицательным в результате решения уравнения (3), потому что по условию не может быть отрицательным или равным нулю ни одно из чисел x
,
y
.
Все три числа целого решения содержат корень , который определяет такие решения и должен быть целочисленным. Кроме того, для получения оригинальных решений числа a
и b
должны быть взаимно просты, т.е. не иметь общих делителей отличных от 1.
Число является целым в следующих случаях:
- случай 1
: a
=2
c
,
b
=
d
,
=2
cd
;
после подстановки значений a
и b
в (4) получим:
X=d(2c+d); Y=2c(c+d); Z=2c(c+d)+ d;
(5),
здесь a
>
b
,
a
–чётное число,b
–нечётное, следовательно, X
,
Z
– нечётные, Y
–
чётное;
- случай 2
: a
=
c
,
b
=2
d
,
=2
cd
;
после подстановки значений a
и b
в (4) получим:
X=2d (c+d); Y=c(c+2d); Z=c(c+2d)+ 2d
(6),
здесь a
>
b
,
a
– нечётное число,b
– чётное, следовательно, X
– чётное, а Y
и Z
– нечётные;
примечание:
в случаях 1 и 2 числа c
и d
целые и взаимно простые, потому что таковыми являются a
и b
. Если определены и целы c
и d
,
то определены и целы все числа X
,
Y
,
Z.
Следствия
Общие формулы (4 6) для решений уравнения (1) доказывают бесконечность множества троек целых решений и могут быть использованы для получения целых решений, не имеющих общих делителей. Приэтом должно всегда быть a
>
b
,
атакже a
иb
должны быть взаимно просты. Так как число b
меньшее из последних двух, то удобно обозначать ряды решений по его значению, например, если b
=1,
то ряд решений P
1
(Пифагор).
Ряд
P
1:
b
=
d
=1,
a
=2
c
,
 =2
c
, где c
=1,2,3,…
Подставляя d
и c
в (5) получим неограниченный ряд оригинальных целых решений X
,
Y
,
Z
:
X
= 2
c
+1;
Y
= 2
c
(
c
+1);
Z
= 2
c
(
c
+1)+1.
Первые решения этого ряда: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 11,60,61; 13,84,85; 15,112,113; 17,144,145; 19,180,181; 21,220,221; 23,264,265; 25,312,313; 27,364,365; 29,420,421; …
Ряд
P
2:
b
=2
d
= ,
a
=
c
,
=2
c
,
гдеc
=3,5,7,…
Последовательность c
начинается с 3
, потому что a
>
b
,
и нечётна, чтобы не было общих делителей с b
. После подстановки d
=1
иc
в (6):
X
= 2(
c
+1);
Y
=
c
(
c
+2);
Z
=
c
(
c
+2)+2.
Первые решения этого ряда: 8,15,17; 12,35,37; 16,63,65; 20,99,101; 24,143,145; 28,195,197; 32,255,257; 36,323,325; 40,399,401; 44,483,485; 48,575,577; 52,675,677; 56,783,785;…
Ряд
P
8:
b
=2
d
= ,
a
=
c
,
=4
c
,
гдеc
=3,5,7,…
X = 4(c+2); Y = c(c+4); Z = c(c+4)+8.
20,21,29; 28,45,53; 36,77,85; 44,117,125; 52,165,173; 60,221,229; 68,285,293; 76,357,365; 84,437,445; 92,525,533; 100,621,629; 108,725,733; 116,837,845; 124,957,965; …
Ряд
P9:
b= d=3, a=2c,
=6c .
где c mod 3 0, c=4,5,7,8,10,11,…
33,56,65; 39,80,89; 51,140,149; 57,176,185; 69,260,269; 75,308,317; 87,416,425; 93,476,485; 105,608,617; 111,680,689; 123,836,845; 129,920,929; 141,1100,1109; 147,1196,1205; и т.д.
Диофант в своей «Арифметике» рассматривал особую группу троек целых решений уравнения (1), так называемые «хромые» треугольники, катеты которых, т.е. X
и Y
, отличаются на 1.
Для случая 1
условие существования таких решений: d
= 2
c
– 1.
Ряд
D
1:
3, 4, 5; 119, 120, 169; 4059, 4060, 5741; 137903, 137904, 195025; 4684659, 4684660, 6625109; 159140519, 159140520, 225058681; 5406093003, 5406093004, 7645370045; 183648021599, 183648021600, 259717522849; …
Для случая 2
условие существования таких решений: 2
d
=
c
– 1.
Ряд
D
2:
20,21,29; 696 ,697, 985; 23660, 23661, 33461; 803760, 803761, 1136689; 27304196, 27304197, 38613965; 927538920, 927538921, 1311738121;
31509019100, 31509019101, 44560482149;
1070379110496, 1070379110497, 1513744654945; …
Первый и наименьший такой треугольник – 3,4,5,
для которого c
=
d
=1
(случай 1).С помощью простых формул, исходя из него, могут быть вычислены сколько угодно много других «хромых» треугольников (
m
=1,2,3,…):
d
=
c
+
d
; c
= 2
d
+ 1;
X
,
Y
,
Z
рассчитываются по (6);
c
=
c
+
d
;
d
= 2
c
– 1;
X
,
Y
,
Z
рассчитываются по (5).
Например, вычислить 1-й треугольник ряда D
2:
d = c + d = 1 + 1 = 2; c = 2d + 1 = + 1 = 9; c = 3.
X = 2d (c+d ) = 2*2(3+2) = 20; Y = c(c+2d ) = 3(3+2*2 ) = 21;
Z
=
c
(
c
+2
d
)+ 2
d
= 3(3+2*2)+2*2
= 29.
Следующим является треугольник 2 ряда D
1:
c = c+ d = 3 + 2 = 5; d = 2c
– 1 = 2*25 – 1 = 49; d = 7.
X = d(2c+d) = 7(2*5+7) = 119; Y = 2c(c+d) = 2*5(5+7) = 120;
Z
= 2
c
(
c
+
d
) +
d
= 2*5(5+7)+7
= 169.
Формулы (4) могут быть использованы для доказательства большой теоремы Ферма, методом бесконечного спуска, для всех нечётных (в т.ч. всех простых > 2) значений показателя степени n.
|
