Реферат: Симметрия молекул и кристаллов

Симметрия молекул и кристаллов

Преобразования симметрии

1. Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих перемещениях говорят как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представит в виде комбинации одного или нескольких из трех основных типов преобразовании. Этими тремя существенно различными видами преобразовании являются:

1 - поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси;

2 - зеркальное отражение в некоторой плоскости;

3 - параллельный перенос тела на некоторое расстояние.

Последним типом преобразований может обладать лишь бесконечная среда (кристаллическая решетка). Тело же конечных размеров (молекула) может быть симметрична только по отношению к поворотам и отражениям.

2. Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол j=2 p/ n , то такая ось называется осью симметрии n -го порядка и обозначается C_n . Число n может иметь различные целые значения n =2,3.4 ... Значение n=1 соответствует повороту на угол 2 p/1 , или 0 , т.е. соответствует тождественному преобразованию. Повторяя операцию C_n два, три и т.д. раз получаем поворот на угол 2 ×2 p/n , 3 ×2 p/n ,... и т.д. Эти повороты также совмещают тело само с собой и обозначаются C_n ² , C_n ³ и т.д. Очевидно, что если n кратно p , то C_n ^p =C_n /p . Произведя преобразования n раз, мы вернемся в первоначальное положение, т.е. произведем тождественное преобразование, которое принято обозначать символом Е .

3. Если тело совмещается само с собой при зеркальном отражении в некоторой плоскости s, то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения обычно обозначают также символом s . Очевидно, что двукратное отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование ss^-1 =Е .

4. Одновременное применение обоих преобразований поворота и отражения приводим к так называемой зеркально-поворотной оси S_n . Тело обладает зеркально-поворотной осью n -го порядка, если оно совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на угол 2 p/n и последующем отражении в плоскости s_h , перпендикулярной к этой оси. Это новый вид симметрии, если n четное. Если n -нечетное, то применение этой операции n раз даст поворот на угол 2 p/n , а нечетное отражение в плоскости даст простое отражение. Только при четном n применение n раз этой операции даст тождественное преобразование, т.е. sS_2p ^2p =E . Зеркально-поворотное преобразование обозначается S_n . Поскольку при отражении в плоскости s , перпендикулярной оси C_n принято ставить индекс h при s плоскость обозначается s_h . Важным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка S₂ . Легко сообразить, что поворот на угол j с последующим отражением в плоскости s_h , представляет собой преобразование инверсии I , при котором происходит отражение тела в точке пересечения оси C₂ и плоскости s_h . I=S₂ =C₂ × s_h ; I × s_h =C₂ ; I ×C₂ = s_h , т.е. C₂ , s_h и I взаимно зависимы: наличие любых двух элементов приводит к существованию третьего.

5. Произведение двух поворотов вокруг осей, пересекающих в точке А есть также некоторое вращение вокруг оси, проходящей через точку А . Ось вращения и угол результирующего движения определяются осями и углами исходных поворотов. Произведение двух отражений s₁ и s₂ в пересекающихся под углом j плоскостях, эквивалентно повороту вокруг оси, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей на угол 2 j , т.е. s₂ s₁ =C (2j). Действительно, умножая последнее равенство на s₂ , получимs₁ = s₂ ×C (2 j), т.е. произведение поворота на угол 2 j и отражения в плоскости, проходящей через эту ось, эквивалентно отражению в другой плоскости, пересекающейся с первой под углом j.

Другой важный результат состоит в том, что произведения двух вращений на угол p вокруг пересекающихся под углом j осей U и V эквивалентно вращению вокруг оси ММ , перпендикулярной плоскости, в которой находятся оси U и V , на угол 2 j=2 (V,U). Действительно, при двух кратном вращении вокруг U и V линия ММ остается в прежнем положении, т.е. это вращение вокруг оси ММ . Для определения угла вращения рассмотрим саму ось U . Вращение вокруг U оставляет ее без изменений, а вращение вокруг V переводит ее в новое положение U` , так что угол между старым U и новым U` положением равен (U U`) =2 j.

Результат двух последовательных преобразований, вообще говоря, зависит от порядка, в котором эти операции производятся, так что операции не коммутируют. При записи сначала записывается операция, которая производится второй. Однако, следующие операции являются коммутирующими:

1. Два вращения вокруг одной и той же оси C _n ^k C _n ^l =C _n ^l C _n ^k .

2. Два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях - они эквивалентны вращению на угол p : s_x × s_y =C₂ ^z = s_y × s_x ,3. Вращение и отражение в плоскости перпендикулярной этой оси C_n s_h =S_n = s_h C_n (т.е. вращательное отражение). Эту операцию можно рассматривать как фундаментальную.4. Вращение на угол p вокруг двух перпендикулярных осей: C₂ ^x ×C₂ ^y =C₂ ^z .

5. Любой поворот C _n , отражение s_h и инверсия I (следствие 1 и 3).

Ясно, что для каждой операции симметрии R , которую можно применить к нему, имеется операция, отличающаяся от первой или идентичная ей, которая переводит тело в первоначальное положение. Это обратная операция R^-1 R=Е

Операции симметрии

Рассматривая симметрию любой фигуры, мы должны среди всех возможных вращении и отражении выбрать те, которые приводят фигуру к совмещению с собой. Эти движения называются операциями симметрии. Операции симметрии надо отличать от элементов симметрии. Оси вращения типа С_n называются n кратными. Зеркально-поворотные оси называются также осями второго рода. В силу предыдущих соотношения имеют место следующие утверждения:

1. Пересечение двух плоскостей симметрии есть ось симметрии. Если угол между плоскостями p/n , то ось является n -кратной, т.е. поворот вокруг этой оси на угол 2 p/n совместить тело с самим собой.

2. Если плоскость симметрии содержит n -кратню ось, то существует еще n- 1 плоскостей симметрии, проходящих через ту же ось, причем угол между плоскостями p/n . Частный случай: ось С₂ и две проходящие через нее ортогональные плоскости всегда существуют вместе.3. Ось четвертого порядка, плоскость перпендикулярная к ней и инверсия всегда существуют вместе, т.к C₄ ² s_h =S₂ ºI .

4. Две двукратные оси, образующие угол p/n вызывают появление перпендикулярной к их плоскости n -кратной оси.5. Двукратная ось и перпендикулярная к ней n -кратная ось генерирует еще n-1 двукратных осей. Угол между ними p/n .

Группы операций симметрии

Система операций симметрии, характерная для данного тела, представляет собой частный случай совокупности, которая в математике называется группой. Набор элементов E , A, B, C ... образуют группу, если выполняются следующие четыре постулата:

1. Существует правило умножения, такое, что умножение двух любых элементов группы А и В даст третий элемент этой же группы С , т.е. А*В=С ;

2. Имеет место ассоциативный закон (АВ) С=А (ВС);

3. Каждая группа содержит идентичный элемент, для которого АЕ=ЕА=А ;

4. Каждый элемент группы имеет обратный Х=А^-1 , такой, что А^-1 А= =АА^-1 =Е . Обратный элемент может совпадать со своим прямым, например E^-1 =E .

Очевидно, что система всех операции тела, включая и тожественную операцию Е , удовлетворяет перечисленным выше требованиям, и составляет таким образом группу. Однако понятие группы шире. Члены группы могут рассматриваться как отдельные абстрактные элементы, могут быть идентифицированы с вещественными или комплексными числами, с матрицами, с движением геометрической фигурой в пространстве. Правило умножения (композиция) элементов - это обычное умножение или матричное умножение. В случае обычного умножения четыре числа +1, - 1, +i, - i образуют группу, что нетрудно проверить:

1.1* (+1) =1; 1* (-1) =-1; 1* (+¤i) =i; 1* (-i) =-i;

1* (-1) =1; - 1* (+i) =-i; - 1* (-i) =i; i* (i) =-1; i* (-i) =1

2. [1* (-1)] *i=1 [ (-1*i)] =-i;

3. Е=1

4. i^-1 =-i (-i) - ¹ =-1 (-i) - ¹ =i.

Если группа содержит конечное число элементов, она называется конечной группой, а число элементов n называется порядком группы. Если имеет место коммутативный закон АВ=ВА группа называется абелевой, но вообще говоря АВ ¹ВА . Пусть элементы группы Е, А, B, C, D, F расположены по строкам и столбцам. Произведение АВ пусть стоит на пересечении строки А и столбца В , тогда можно составить таблица умножения элементов:

Таблица 1.Таблица умножения группы

Эти шесть элементов составляют группу. Каждое произведение содержится в группе. Каждый элемент имеет обратный. Группа не абелева, т.к, например, АС ¹СА .

Подгруппы

Рассмотрим последовательность X₁ , X₂ ... Выбранный элемент X и все его степени являются членами группы и группа конечна, поэтому последовательность должна повторить себя. Пусть X_n =Е , тогда X₁ , X₂ . X_n =Е называется периодом и обозначается {X} , а n - порядок элемента X . Период элемента А в указанной группе A¹ , A² =В , A³ =Е , т.е. n=3 . Период элемента В : В¹ , В² =А, В³ =Е ; n=3 . Период С : С¹ , С² =Е , т.е. n=2 . Период любого элемента образует группу, т.к все постулаты для такой совокупности элементов выполнены. Ее называют подгруппой группы G .

{А}={В}= E, A, B

{С}= Е, С{D}= Е, D

{F}= E, F

Можно показать, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы. Пусть существует группа G , в которой есть подгруппа H . Пусть элемент g принадлежит G, но не принадлежит подгруппе H . Умножим все элементы h₁ , h₂ ,... из подгруппы H на элемент g . Элементы комплекса (смежного класса) принадлежат G , но не H , потому что в противном случае h_i ×g=h_k и g=h_k ×h_i ^-1 , что не так. Продолжая этот процесс получим, что все элементы группы G можно представить следующим образом (H - совокупность элементов подгруппы H ):

H, Hg₁ , Hg₂ ,... Hg

в каждом комплексе h элементов (h - порядок H ) поэтому g=hm , ибо элементы комплекса Hg₁ не принадлежат ни Hg_n ни Hg_m .

Сопряженные элементы

Если A, B и X - элементы группы и В=XAX^-1 , то A и В называют сопряженными элементами. Следующие законы относящиеся к сопряженным элементам являются почти очевидными и могут быть проверены с помощью таблицы умножения группы:

1. Каждый элемент сопряжен сам с собой;

2. Если A сопряжено с В , то В сопряжено с A ;

3. Если A сопряжено с В , и В сопряжено с С , то A и В сопряжены между собой. Элементы сопряженные друг с другом, образуют класс.Т.о. вся группа распадается на классы

Для группы E, A, B, C, D, F класс A есть A и В , т.к

ЕАЕ^-1 =А; ААА^-1 =A; ВАВ^-1 =А

САС^-1 =В; DAD^-1 =В; FAF^-1 =B

Подобным же образом можно показать, что класс элемента С (а также D и F ) есть C, D, F . Единичный элемент образует класс сам с собой. Поэтому в группе G содержится три класса E ; A,B; C,D,F . Число элементов в каждом классе является делителем порядка группы.

Все элементы класса имеют один и тот же порядок.

Действительно, если n порядок A то для B=CAC^-1 имеет место соотношение В ⁿ = ( CAC^-1 ) ⁿ = ( CAC^-1 ) × ( CAC^-1 ) … ( CAC^-1 ) = CAⁿ C^-1 = Е .

ИЗОМОРФИЗМ. Две группы G и G` одинакового порядка называются изоморфными если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если AB=C , то A`B`=C` .

Общие свойства групп симметрии

Из самого определения операции симметрии видно, что они удовлетворяют постулатам, сформулированным для группы. Следовательно, полный набор операций симметрии некоторой фигуры образует группу. Любая операция группы преобразует систему элементов симметрии в самое себя, т.к фигура, к которой принадлежит эта система элементов, согласно определению операции симметрии, приводится к совпадению с собой. Элементы симметрии, которые таким образом могут быть преобразованы один движения. Другими словами все оси и плоскости симметрии молекулы должны пересекаться в одной точке. Перед тем как перейти к построению возможных типов точечных групп, рассмотрим простой геометрический способ, позволяющий легко произвести разделение элементов групп по классам. Пусть Oa некоторая ось и элемент A есть поворот вокруг этой оси на некоторый угол. Пусть далее G элемент из той же группы (поворот или отражение) который будучи применен к той же оси Оa переводит ее в положение Оb . Можно показать, что тогда элемент W=GAG^-1 отвечает повороту вокруг оси Оb на такой же угол, на который элемент А поворачивает пространство вокруг Оa . Действительно, рассмотрим воздействие GAG^-1 на ось Оb . Преобразование G^-1 переводит Оa в Оb ; преобразование A (поворот) оставляет ось на месте; последующая операция G переводит Oa в Ob . Поскольку результирующая операция GAG^-1 оставляет ось Оb на месте, то Оb есть ось вращения. Поскольку А и В сопряжены, они относятся к одному классу и имеют одинаковый порядок, т.е. производят поворот на один и тот же угол. Покажем математически, что Вⁿ =Е

В ^p = ( GA_n G^-1 ) ^p = GA_n G^-1 GA_n G^-1 ... GA_n G^-1 =GA_n A_n A_n . A_n G^-1 =GA_n ^p G^-1

Это выражение равно E при p=n и не является операцией идентичности при всех других значениях p . Таким образом, два поворота а одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе элементов группы имеется преобразование, с помощью которого можно совместить одну ось поворота с другой. Точно также две операции в плоскости относятся к одному классу, если есть операция переводящая одну ось в другую. Если же оба поворота производятся вокруг одной и той же оси, то операции поворота будут относится к одному и тому же классу, если ось двусторонняя. Элемент, обратный С_n ^k (k=1,2,. n-1) вокруг оси порядка n , будет С_n ^-k =С_n ^n-k , т.е. представляет собой поворот на угол (n-k) 2 p/n в том же направлении или на угол k2 p/n в обратном направлении. Если в числе преобразовании группы имеется поворот на угол p вокруг оси, перпендикулярной данной С_n (меняет направление оси), то согласно доказанному общему правилу С_n ^k и С_n ^-k относятся к одному классу. Отражение в плоскости s_h тоже меняет направление оси, но меняет также и направление вращения. Таким образом наличие s_h не делает С_n ^k и С_n ^-k сопряженными. Отражение в s_v не меняет направление оси, но меняет направление вращения и поэтому C_n ^-k =s_v C_n ^k s_v /

Итак, различные типы элементов симметрии могут входить в различные классы. Число элементов в каждом классе определяется путем рассмотрения числа сопряженных элементов симметрии, соответствующих каждой операции. С этой геометрической интерпретацией легко определить и классифицировать все возможные точечные группы. Мы рассмотрим сначала проблему нахождения групп более высокой симметрии путем добавления некоторых элементов к группам более низкой симметрии. По аналогии с {A} , что обозначает период А , мы обозначим через {А, В} все величины типа А_m В_n , где порядок А и В не изменяется. Рассмотрим группу G с системой элементов G₁ , G₂ ... G_n-1 . Мы хотим добавить к ней систему элементов А¹ , А² ... A^m с операцией А , соответствующей одному из элементов. Каким условиям должны удовлетворять группа G и операция A , чтобы {G,A} тоже составляла группу? В любой группе система элементов симметрии преобразуется сама в себя при любой операции группы. Набор, состоящий из Е, G₁ , G₂ ,... G_n-1 и A¹ , А² ,. A^m , очевидно в том случае будет удовлетворять этому требованию, если любая степень А преобразует операции из G в самое себя, и любая операция из G приведем к совпадению А с собой. Если G состоит из Е, G₁ ,... G_n-1 , то это означает, что для любого G_k и любой степени А_m существует другая операция G_p , такая, что должны быть выполнены два условия:

1. A_m G_k А _-m =G_p или A_m G_k =G_p A_m

2. G_k A (G_k ) - ¹ =А _j

Можно проверить, что при этих условиях {G,A} - группа, т.е. все величины типа G_k A_m действительно представляют собой группу. Поскольку G - группа и A -операция симметрии, то мы должны показать только, что произведение двух операции например, G_p A_m и G_j А_r содержится в {G,A }. Действительно,

G_p A_m G_j A_r = A_m G_P G_j A_r = A_m G_s A_r = A_m G_s A_{- m} A_{r + m} = G_t A_{r + m} = G_t A_q

что по определению содержится в {G,A}. Операция А и ее степени могут преобразовывать такие элементы G один в другой, которые не эквивалентны по отношению к операциям из G . Поэтому не следует ожидать, что классы группы вращения будут идентичны с классами группы второго рода, полученными из нее. Это, однако будет иметь место, если A=I , т.к операция инверсии I может лишь преобразовывать каждый отдельный элемент группы G сам в себя. Поскольку инверсия коммутирует с любой другой операцией, класс группы {G, I} получается из класса группы G умножением каждого (сопряженного) элемента на I , т.к G_k G_j (G_k ) - ¹ =G_n предполагает G_k IG_j (Gk) - ¹ =IG_n .

Поэтому группа {G, I} имеет вдвое больше классов, чем G . Может быть показано, что представленный метод построения действительно приводит по всем возможным группам симметрии. Далее можно доказать, что если группа имеет более, чем одну ось симметрии порядка выше второго, то ее система осей идентична с системой осей правильного многогранника. Единственные правильные многогранники суть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Из них куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр имеют по одинаковому набору осей симметрии.

Классификация групп симметрии

Мы начнем с рассмотрения групп вращения, а затем добавим к ним элементы симметрии второго рода.

A. ГРУППЫ ВРАЩЕНИЯ

1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ С_n . Это простейший возможный вид симметрии, который содержит одну ось n -го порядка. Группа циклическая. Каждый из n элементов составляет класс, поскольку операции коммутативны.

2. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ D_n ={C_n ,C₂ } . Добавим к n -кратной оси перпендикулярную ось С₂ . Это, естественно, вызывает (генерирует) появление еще n-1 осей С₂ в плоскости, перпендикулярной оси С_n , причем угол между осями равен p/n . Группа D_n содержит 2n элементов: n поворотов вокруг C_n и n поворотов вокруг n горизонтальных осей С₂ . Ось С_n является двухсторонней.

Горизонтальные же оси все эквивалентны, если n -нечетно, и составляют 2 неэквивалентных набора, если n четно. Действительно, при последовательном применении операции ось C₂ переходит последовательно в оси

C₂ Þ C₂ ⁽²⁾ Þ C₂ ⁽⁴⁾ Þ… Þ C₂ ^{(2 p)} Þ- C₂ ^(-1) Г Þ… Þ- C₂ ^{(2 p-1)} Þ- C_2,

т.е. все они эквивалентны и 2p+1 вращения вокруг них на p входит в один класс. Следовательно группа имеет p+2 классов: Е , 2p+1 поворотов вокруг C₂ и p классов по два поворота (C_2p+1 ^k , C_2p+1 ^-k ) вокруг вертикальной оси С_n . Для группы с четными n т.е. для D_2p можно показать, что никакая ось с четным номером не перейдет в ось с номером нечетным.

C₂ Þ C₂ ⁽²⁾ Þ C₂ ⁽⁴⁾ Þ… Þ C₂ ^{(2 p-2)} Þ C₂ ^{(2 p)} =- C₂ Þ- C₂ ⁽²⁾ Þ… Þ- C₂

Имеется два типа неэквивалентных осей С₂ . Число классов поэтому равно p+3 : Е ; 2 класса по p поворотов на p в каждом, которые соответствуют неэквивалентным осям С₂ , p классов по 2 поворота (C_2p ^k ,C_2p ^-k ) вокруг оси С_n .

Частный случай D₂ =V - три взаимно перпендикулярных оси С₂ , идентичных с декартовой системой координат.

3. ТЕТРАЭДРИЧЕСКАЯ ГРУППА T={V,C₃ } . Это группа симметрии осей правильного тетраэдра. Имеет оси 3C₂ и 4C₃ ; классы: E ; 3C₂ ; 4C₃ ¹ ; 4C₃ ² .

4. ГРУППА ОСЕЙ ОКТАЭДРА (КУБА) O={Т,C₂ } . Элементы симметрии 3C₄ , 4C₃ , 6C₂ . Все оси одинаковой кратности (т.е. одного порядка) - эквивалентные, т.е. операции С_n ^k и C_n ^-k сопряжены. Классы группы О: Е; 8C₃ ¹ , 6C₄ ¹ , 3C₄ ² , 6C₂ .

5. ГРУППА ИКОСАЭДРА Р (стандартного символа нет). Группа имеет следующие элементы симметрии: 6C₅ , 10C₃ , 15C₂ и включает в себя 60 преобразований (операций симметрии).

В. ГРУППЫ ВТОРОГО РОДА.

Если к вращательной группе G добавит подходящее отражение, получим новую группу {G, s} . Поскольку s² =E , эти группы второго рода имеют одинаковое число вращений простых и вращений с отражением. При добавлении последующих плоскостей в необходимо, чтобы пересечение двух плоскостей, которое является осью С_n , обязательно входило бы в группу G . Хотя инверсия не является самостоятельной основной операцией и входит в группы {G, s}, однако часто удобно указывать имеет группа центр инверсии или нет, ибо тогда очень просто получать классы. Таким образом можно получить все остальные группы. Будем считать, что главная n- кратная ось идет вертикально. Как всегда значок v - вертикальных плоскостей, h - горизонтальных.

6. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ С_nh ={C_n , s_v } . Все операции в группе коммутируют. Группы имеют столько же классов, сколько и элементов. Если n -четно, то имеется центр инверсии, т.к C_2n ⁿ s_v =I . Элементы С_n ^k и С_n ^k s_v .

Частные случаи:

a) C_{1 h} : s_v =C_s ;

b) C_2h : E, C₂ , s _v , C₂ s _v =I;

c) C_3h : E, C₃ ¹ , C₃ ² , s _v , C₃ ¹ s _v =S₃ ¹ , C₃ ² s _v =S₃ ² .

5. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ С_nv ={C_n , s_v } . Если к оси С_n присоединить плоскость s_v , появляются еще (n-1) вертикальных плоскостей с углом между ними p/n . Группа содержит 2n элементов: n поворотов вокруг оси С_n и n отражений в n различных плоскостях s_v . Ось Сn двусторонняя, т.е. С_n ^k сопряжено с C_n ^-k . Если n - нечетно (n=2p+1) число классов равно p+2 , поскольку плоскости эквивалентны. Классы этой группы: Е , p классов поворотов вокруг оси С_n по 2 элемента в каждом, и 1 класс отражений в эквивалентных плоскостях s_v . Если n - четно (n=2p), то имеются 2 типа неэквивалентных плоскостей s_v . Число классов p+3 : Е, p классов поворотов вокруг оси С_n по два элемента в каждом, 2 класса отражений в плоскостях s_v .

6. ГРУППЫ S_n ={S_n } . Группы операции, единственным элементом симметрии которых является зеркально-поворотная ось n -го порядка S_n =C_n s_v . Поскольку зеркально-поворотная ось может быть только четного порядка, то легко видно, что группы S_n только четного порядка, ибо для нечетных n зеркально-поворотная ось эквивалентна более простым операциям.

S_2p+1 ={C_2p+1 , s _v }=C_2p+1,h

S_4p+2 ={C_2p+1 , I}=C_{2p+1, i}

В частности группа S₂ имеет 2 элемента Е и I .

7. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ D_nh ={D_nh , s_h } Если к диэдральной группе D_n добавить горизонтальную плоскость s_h , то ее присутствие требует n вертикальных плоскостей, проходящих через оси С₂ (ось второго порядка и две взаимно перпендикулярные плоскости всегда присутствуют вместе). Поскольку s коммутативно со всеми элементами D_nh можно записать как

D_nh ={D_n , s_h }=D_n *C_s .

При четном n в числе элементов D_nh имеется инверсия, т.е.

D_2nh ={D_2n , s _h }=D_nh *C_i .

Отсюда следует, что число классов в D_nh равно удвоенному числу классов в D_n . Половина из них совпадает с D_n , а другая половина получается из первых умножением на s_h . Отражения в s_v все относятся к одному классу (если n - нечетно) и к 2 классам (если n четно). Например, в группе D_3h элементы симметрии: C₃ , s_h , 3 s_v , 3C₂ ; Преобразования (элементы группы): E, C₃ ¹ ,C₃ ² ; 3C₂ ; s_h ; S₃ ¹ ,S₃ ² ; 3 s_v .

10. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ D_nh ={D_n ,s _d }. Поскольку D_nh уже содержит вертикальные плоскости, проходящие через оси C₂ , то единственно возможный другой путь добавления другой плоскости к D_n , при котором система преобразуется сама в себя, - это поместить эту плоскость по биссектрисе угла между двумя соседними осями. Эта плоскость диагональна - d . Эта плоскость требует присутствия еще n-1 таких же плоскостей. Такие диагональные плоскости отражают две соседних двукратных оси одну в другую, т.е. все двукратные оси становятся эквивалентными как для четного, так и для нечетного n . Подобным же образом и все плоскости оказываются эквивалентными. Поскольку угол между плоскостью и осью всегда является нечетным числом p/2n , в случае n нечетного одна из плоскостей перпендикулярна к одной из двукратны осей. Значит при n=2p+1 система имеет центр симметрии. Для D_nd с четным n имеем следующие классы:

1. Е ;

2. Вращение на угол p вокруг 2p кратной оси;

3. p-1 классов сопряженных вращений вокруг С_{2 p} ;

4. один класс 2p вращений на угол p ;

5. один класс 2p отражений в s_d ;

6. p классов сопряженных вращательных отражений. Итого всего: 1+1+ [p-1] +1+1+p=2p+3 .

Пример - молекула C₂ H₆ . Симметрия D_3d . Элементы симметрии: C₃ , 3C₂ , S₆ , I, 3 s_d . Операции: E; C₃ ¹ , C₃ ² ; 3C₂ ; I; S₆ ¹ , S₆ ³ ; 3 s_d .

Группа D_2p+1,d имеет центр инверсии, а потому имеет в классов в два раза больше, чем D_2p+1 т.е.2p+4 .

11. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Т_d ={V_d ,C₃ } . Группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Шесть плоскостей, проходят через ребра и медианы противоположных граней и содержат ось C₃ . Поэтому C₃ ¹ и C₃ ^-1 ºC₃ ² сопряжены. Двукратные оси группы Т тоже становятся эквивалентными четырехкратным зеркально-поворотным осям, поскольку образующая группа V_d . Всего 24 элемента разбиты по следующим 5 классам: E; 8C₃ , 6 s, 6S₄ , 3C₂ .

12. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Т_h ={V_h ,C₃ } . Поскольку V_h имеет центр инверсии, T_h ={T, I} . Классов в этой группе поэтому в два раза больше чем в группе T : E, 4C₃ ¹ , 4C₃ ² , 3C₂ , I, 4S₆ ¹ , 4S₆ ³ , 3S₄ . В результате инверсии появляются 3 взаимно-перпендикулярных плоскости симметрии, проходящие через каждые две оси второго порядка, а оси третьего порядка становятся зеркально-поворотными 6 -го порядка.

13. ГРУППА ОКТАЭДРА O_h ={O, I} . Это есть группа всех преобразовании куба. Она получается из O добавлением центра инверсии. Поэтому ее можно представить как O_h =O*C_i . Оси третьего порядка превращаются в зеркально-поворотные оси 6-го порядка. Появляется еще 6 плоскостей, проходящих через пару противоположных ребер, и три, параллельные граням. Группа содержит 48 элементов, 10 классов, которые непосредственно могут быть получены из группы O .

14. ГРУППА ИКОСАЭДРА P={P, I} . P_h =PC_i . (правильный 20 -гранник c треугольными гранями)

C - НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ

Помимо конечных точечных групп следует рассмотреть непрерывные точечные группы с бесконечным числом элементов. Это группы аксиальной или сферической симметрии. Простейшей группой является группа C , содержащая повороты C ( j) на произвольный угол j . Это предельный случай С_n при n ® ¥ бесконечности. Аналогично, в качестве предельных групп C_nh , C_nv , D_n , D_nh получаются соответствующие непрерывные группы. Молекула, обладающая аксиальной симметрией, должна состоять из атомов, расположенных на линии. При этом, если она не симметрична относительно своей середины, ее точечная группа будет C _¥v , поскольку кроме поворотов существуют отражения в плоскостях s_v . Если же молекула симметрична относительно своего центра, то ее точечная группа D _¥h =C _¥v *C_i . Поэтому группы D _¥h , C _¥h , D _¥ , не могут осуществляться в качестве групп симметрии молекул. Электрическое поле E (полярный вектор) имеет симметрию C _¥v . Магнитное поле H (аксиальный вектор) имеет симметрию C _¥h .