Рассмотрим две различные физически возможные ситуации, связанные с вращением вокруг некоей фиксированной точки – центра. В данном разделе мы, не стремясь к излишней строгости изложения, ограничимся физическими аналогиями и подходом к анализу криволинейного движения, заимствованным из классической теоретической механики.
1. В первом случае представим себе вращательное движение двухатомной молекулы вокруг её центра масс. Пренебрегая относительно небольшими колебательными деформациями химической связи, можно считать постоянным межъядерное расстояние R, а соответственно, и радиусы сфер, по которым перемещается каждый из атомов вращающейся молекулы с массами  и  . Такая модель называется жёстким ротатором и может рассматриваться как пример чистого вращения (рис. 1)
Рис. 1. Жесткий ротатор.
Ему отвечает кинетическая энергия
 (1)
где L– момент импульса, I – момент инерции, а  – приведенная масса,
В свободном вращательном движении потенциальная энергия отсутствует, и оператор кинетической энергии представляет собой одновременно оператор полной энергии. Он запишется так:
 где R=const (2)
Напомним читателю, что выражение оператора момента импульса I дано в разделе 2.2. Следует ожидать, что в сферических координатах оператор  вр должен зависеть только от угловых переменных , но не от радиуса  . Это легко проверить с помощью анализа размерности.
2. Второй случай сложнее и полнее. Он имеет место при движении одного электрона в поле ядра атома водорода, водородоподобном ионе или при взаимном вращении частиц в электрон-позитронной системе, известной как атом позитрония. Такое движение называется центральным, а сама задача Кеплеровой.
Электрон невозможно зафиксировать на сфере постоянного радиуса – это запрещено принципом неопределенности. При движении электрона как бы образуется пространственное облако. Тем не менее, можно обратиться к аналогии с классической механикой, которая позволяет в любом криволинейном движении выделить нормальную (радиальную) и тангенциальную (касательную) компоненты. Тангенциальная составляющая кинетической энергии соответствует чистому вращению – перемещению по сфере – и связана с моментом импульса формулой (1).
Движение электрона, порождающее облако с вероятностным распределением плотности, можно условно представить как совокупность чистых вращений на концентрических сферах с фиксированными радиусами и радиальных перемещений между этими сферами. В таком случае чисто вращательное слагаемое в составе оператора кинетической энергии также описывается формулой (2) но при этом момент инерции является переменной величиной из-за меняющегося радиуса
 (3)
где  – масса электрона, а  .
Присутствие радиального слагаемого  в этом случае заставляет представить оператор кинетической энергии  в виде суммы
 (4)
3. В силу того, что оператор кинетической энергии частицы отличается от лапласиана только множителем  (см. уравнение 2.15), домножив на него формулу (4.46), получим
 (5)
Сравнивая формулы (4.50) и (4.51), приходим к фундаментальному соотношению
 , (6)
т.е. оператор квадрата момента импульса совпадает с оператором Лежандра  с точностью до постоянного множителя  . Заметим, что размерность собственных значений оператора  совпадает с размерностью постоянной Планка  .
4. Этот же результат можно получить и последовательными математическими преобразованиями компонент операторов  и  . Процедура перехода к сферическим координатам для компонент  аналогична той, что была осуществлена в разделе. при переводе  к плоской полярной системе координат. Кстати говоря, в сферических координатах имеет тот же самый вид. Используя уравнения и читатель сам легко получит выражения
 (7)
 (8)
 (9)
Суммируя результаты возведения в квадрат найденных выражений для операторов проекций момента импульса, получаем формулу (6), которая в развернутой форме с учетом имеет вид
 (10)
5. Жесткий ротатор. Уравнение Шредингера.
5.1. Согласно вышеизложенному, уравнение Шредингера для жесткого ротатора может быть представлено так
 (11)
Поскольку момент инерции постоянен (I=const), волновые функция жёсткого ротатора с точностью до постоянного множителя совпадают с собственными функциями оператора Лежандра. Последние обозначаются символом  и носят название шаровых, или сферических функций. Это значит, что должно быть справедливым операторное уравнение, следующее из (11)
 (12)
где  – собственное значение оператора Лежандра, связанное с квадратом момента импульса и энергией вращения;
 (13)
5.2. Поэтому следующий этап решения нашей задачи состоит в нахождении собственных функций операторного уравнения (4.57), которое в развёрнутом виде представляется так
 (14)
Конструкция уравнения (14), включающего сумму операторов, каждый из которых содержит одну переменную, позволяет легко произвести разделение переменных, используя метод Фурье.
5.3. Для этого представим функцию  в виде произведения
 , (15)
умножим обе части уравнения (14) слева на  и перегруппируем слагаемые, включающие разные переменные:
 (16)
Переменные  и  полностью разделились, поэтому правую и левую его части можно приравнять одной и той же постоянной. В результате получится два независимых уравнения
 (17)
 (18)
5.4. Уравнение (17) – это уравнение Шредингера для плоского ротатора, где  , и решение его было предметом обсуждения в разделе 3.2:
 , где  (19)
причём квантовое число m связано с квантованием проекции момента импульса на ось z, так как изменение угла описывает вращение вокруг этой оси:
6. Множитель пока ещё не раскрыт, однако ясно, что каждая волновая функция отвечает состоянию с некоторым определенным фиксированным квадратом момента импульса или, что то же самое, с фиксированным модулем момента импульса. Обратим внимание читателя на то, что все преобразования, начавшись как векторные, завершаются расчетами в скалярной форме, и понятно, что из таких расчётов естественном путём вытекает квантование абсолютного значения векторной величины в виде квантования ее квадрата. Необходимое квантовое число назовем l и далее получим его значение.
7. Напоминаем, что волновые функции  являются собственными функция-ми операторов и . На основании уравнений и можно записать
 (20)
а из уравнений (4.58) и (4.70) следует
 (21)
При вычитании (21) из (20) получаем операторное уравнение (22) с конкретным собственным значением  т.е.
 . (22)
Целесообразно построить такую последовательность сомножителей из операторов сдвига, которая непосредственно приводила бы к ожидаемому результату (4.91).
8. Для этого исследуем произведение операторов вида 
 .
Подставляя коммутатор, получим
 (23)
Совершенно аналогично
 (24)
или при совместной записи
 (25)
В этих формулах привлекательно то, что результат произведения двух операторов сдвигов выражается через операторы с действительными собственными значениями, как это следует из сопоставления правых частей уравнений (22) – (20), с одной стороны, и уравнений (20) и (21) – с другой.
9. Все коммутационные соотношения операторов момента импульса и его проекций, найденные в этом разделе, удобно свести в одну таблицу 4.З. . В строках таблицы указаны левые операторы-сомножители, а в столбцах – правые. На пересечении строки и столбца находится коммутатор соответствующих операторов.
Обращаем внимание читателя на антисимметричный характер таблицы коммутаторов относительно главной диагонали, т.е. элементы, одинаково расположенные по разные стороны последней отличаются только знаками. Таким образом, при изменении порядка записи операторов–сомножителей коммутатор меняет знак.
Таблица 1. Коммутаторы операторов момента импульса
| 1\ 2 |
|
 |
 |
|
 |
 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
 |
 |
 |
 |
|
0 |
 |
0 |
 |
 |
|
|
0 |
 |
 |
0 |
 |
 |
|
0 |
|
 |
 |
0 |
|
|
0 |
|
|
 |
|
0 |
|
