Контрольная работа: Построение двухфакторной модели, моделей парной линейной прогрессии и множественной линейной регрессии

ЗАДАНИЕ №1

По предложенной выборке наблюдений результативного признака у и факторных признаков х1,х2,х3 требуется с помощью корреляционного анализа выбрать факторные признаки для построения двухфакторной модели и пояснить свой выбор.

Решение

Для получения искомых величин составим расчетную таблицу:

Получим: x1 = 54,2, х2=67,4, х3= 66; у*х1=3617; у*х2=4542,4; у*х3=4750,6; х1*х2=3657,2; х1*х3=3415,8; х2*х3= 4256,4

Рассчитаем r коэффициент корреляции между величинами у и х1; у и х2; у и х3; х1 и х2; х2 и х3; х1 и х3;

Cov ( x *у)= х*у –х*у

Cov ( x 1*у)=3617-54.2*69.2 =-133,64

Cov ( x 2*у)=4542,4-67,4*69,2 =-121,68

Cov ( x 3*у)=4750,6-66*69,2 =183,4

Rх1у = cov(х1;у) = -133,64 = -133,64 =- 0,712

Var ( x 1) Var ( y ) 204,16*172,56 187,696

Rх2у = cov(х2;у) =-121,68 = -121,68 = -0,5179

Var ( x 2) Var ( y ) 319,84*172,56 234,928

R х3у = cov (х3;у) =183,4 =183,4 = 0,900

Var ( x 3) Var ( y ) 240,4*172,56 203,675

Cov (x1*x2)=x1*x2-x1*x

Cov(x1*x2)=3657,2-54,2*67,4=4,12

Cov(x1*x3)=3415,8-54,2*66=-161,4

Cov(x2*x3)==4256,4-67,4*66=-192

Rх1х2 = cov(х1;х2)=4,12= 4,12 = 0,016

Var ( x 1) Var (х2) 204,16*319,84 255,5357

R х1х3 = cov (х1;х3) = -161,4 = -161,4 = -0,728

Var (х1) Var (х3) 204,16*240,4 221,54

R х2х3 = cov (х2;х3) = -192 = -192 = -0,692

Var (х2) Var (х3) 240,4*319,84 277,288

Построим расчетную таблицу для двухфакторной модели

Для построения двухфакторной модели по модулю подходят х1 и х3 т.к у них более высокий показатель, но по факторному признаку х1 и х3> 0,6 значит выбираем х1 и х2

ЗАДАНИЕ № 2

Результаты обследования десяти статистически однородных филиалов фирмы в таблице (цифры условные). Требуется:

А. Построить модель парной линейной прогрессии производительности труда от фактора фондовооруженности, определить коэффициент регрессии, рассчитать парный коэффициент корреляции, оценить тесноту корреляционной связи, найти коэффициент эластичности и бета – коэффициент: пояснить экономический смысл всех коэффициентов;

Б. Построить модель множественной линейной регрессии производительности труда от факторов фондо- и энерго- вооруженности, найти все коэффициенты корреляции и детерминации, коэффициенты эластичности и - коэффициенты, пояснить экономический смысл всех коэффициентов.

Решение

А. Обозначим производительность труда через у – резтивный признак, два других признака фондовооруженость и энерговооруженность будут фак.х1 и х2. Рассмотрим линейную модель зависимости производительности труда – у от величины фондовооруженности – х 1 это модель выражения линейной функции f вида у = а0 + а1*х1, параметры которой находят в результате решения системы нормального уровня, сформированных на основе метода наименьших квадратов, суть которого заключается в то, что бы сумма квадратов отклонений фактических уравнений ряда от соответствующих, выровненных по кривой роста значений была наименьшей.

а0*n+а_х1=_у

а0*_х1+а1*_х1^2=_(у*х1),

где суммирование приводится по всем

- n- группам,

- параметры а 0 и а 1можно рассчитать по формуле:

а 1= cov (х1*у) = ух 1-ух 1

var (х1) х 2-2/х 1

а 0 = у -а 1*х

10*а 0+396*а 1 = 959

396*а 0+15838*а 1 = 38856

Составим расчетную таблицу

Из расчета таблицы имеем

ух 1 = 3885,60

х 1 = 1583,80

Дополнительно рассчитываем

ух 1 = 95,9*39,6 = 3797,64

х 1 = (39,6)^2 = 1568.16

а 1 = 3885,6-3797,64 = 87,96 = 5,624040

1583,8-1568,16 15,64

а 0 = 95,9-5,624040*39,6 = -126,81,

таким образом однофакторная модель имеет вид:

у регр = а 0+а 1*х 1

у регр = -126,812+5624041*х 1

Полученное уравнение является уравнением парной регрессии, коэффициента а 1 в этом уравнении называется коэффициентом регрессии. Знак этого коэффициента определяется направлением связи между у и х 2. В нашем случае эта связь образуется а 1 = +5,624040(+) – связь прямая.

Теснота связи между у и х1 определяется коэффициентом корреляции:

rух1 = V1-о у регр.^ 2/ оу^2 , где оу – средняя квадратная ошибка выборки у из значений таблицы

rух1 = V1-142.79937/637.49 = 0.8809071

Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь: rух1=0,881, следовательно, связь между производительностью труда и фондовооруженностью достаточно тесная.

Коэффициент детерминации rух1^2

Это означает, что фактором фондовооруженности можно объяснить 77,6% изменения производительности труда.

Коэффициент эластичности Эух1 = а1*х1 ср./ у ср.; Эух1 = 5,624040*39,6/95,9

Это означает, что при увеличении фондовооруженности на 1%, производительность труда увеличится на 2,3223%.

Бета коэффициент _ух1 = а1*ох1/оу,

_ух1 = 5,624040*V15.64/ V637,49 = 0,8809072

Это значит, что увеличение фондовооруженности на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения производительности труда на 0,88 среднеквадратического отклонения.

Б. Модуль множественных регрессий рассматривается на периметре двухфакторной линейной модели, отражающей зависимость производительности труда у, от величины фондовооруженности (х 1) и энерговооруженности (х 2), модуль множественной регрессии имеет вид у = а 0+а 1у 1+а 2х 2.Параметры модели а 0,а 1,а 2, находятся путем решения системы нормальных уравнений:

а 0*n +а 1*Sх 1+а 2*Sх 2=Sу

а 0*Sх 1+а 1* Sх 1^2+а 2*S(х 1*х 2) = S(у*х 1)

а 0*Sх 2+а 1*S(х 1*х 2)+а2*Sх 2^2 = Sу *х 2)

10*а 0+396*а 1+787*а 2 = 959

396*а 0+15838*а 1+31689*а 2 = 38859

787*а 0+31689*а 1+64005*а 2 = 78094

Рассчитаем таблицу

Решаем систему нормальным уравнением,методом Гаусса (метод исключения неизвестных).

Разделим каждое уравнение системы на коэффициент при а 0 соответственно:

а 0+39,6*а 1+78,7*а 2 = 95,9

а 0+39,994949*а 1+80,022727*а 2 = 98,128787

а 0+40,26556*а 1+81,327827*а 2 = 99,229987

из первогоуравнения системы вычитаем второе уравнение системы

а 0+39,6а +78,7а 2 = 95,9

а 0 +39,994949а 1+30,022727а 2 = 98,128787

-0,394949-1,322727 = -2,228787

Из первого вычитаем третье уравнение:

а 0+39,6а +78,7а 2 = 95,9

а 0+40,26556*а 1+81,327827*а 2 = 99,229987

-0,665563-2,627827 = -3,329987

получим систему с двумя неизвестными

0,394949*а 1+1,322727а 2 = 2,228787

0,665565*а 1+2,627827а 2 = 3,329987

Делим каждое уравнение на β при а 1 соответственно:

а 1+3,349108а 2 = 5,643227

а 1+3,948265а 2 = 5,003248

из первого вычитаем второе

-0,599157а 2 = 0,639979

Полученное значение а 2 подставим в уравнение с двумя неизвестными:

а 1+3,349108а 2 = 5,643227

а 1 = 5,643227-3,349108*(-1,0681323)

а 1 = 5,643227+3,577290

Полученное значение а 1 и а 2 подставим в любое из уравнений с тремя неизвестными

а 0+39,6а +78,7а 2 = 95,9

а 0 = 95,9-39,6 а 1-78,7 а 2

а 0 = 95,9-39,6*9,220517-78,7*(-1,0681323)

а 0 = 95,9-365,132473+84,062012

а 0 = 185,170461

Получим модель:

у = а 0+а 1х 1+а 2х 2

у = -185,170461+9,220517х 1-1,0681323х 2

Ответ: у = -185,170461+9,220517х 1-1,0681323х 2

Парные коэффициенты корреляции:

А. rух 1 = ((у*х 1)ср-у ср*х 1ср)/(оу *ох 1)

Б. rух 2 = ((у*х 2)ср-у ср*х 2ср)/(оу *ох 2), где ох 2 = VS(х 2-х 2ср)^2/10

В. rх 1х 2 = ((х 1*х 2)ср-х 1ср*х 2ср)/(ох 1*ох 2)

Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее связь.

Коэффициент множественной корреляции:

А. rух 1х 2 = V(rух 1^2+rух 2^2-2*rух 1*rух 2*rх 1х 2)/(1-rх 1х 2^2)

Таким образом, степень тесноты связи производительности труда с факторами фондовооруженности и энерговооруженности является высокой.

Совокупный коэффициент детерминации:

Это означает, что совместное влияние двух факторов определяет 82,9% производительности труда.

Частные коэффициенты корреляции:

А. r ух 1(х 2) = (rух 1-rух 2*rх 1х 2)/V(1-rух 2^2)*(1-rх 1х 2^2)

т.е. теснота связи между производительностью труда и фондовооруженностью, при энерговооруженности, значительная.

В.R ух 2(х 1) = (rух 2-rух 1*rх 1х 2)/V(1-rух 1^2)*(1-rх 1х 2^2)

т.е. связи между производительностью труда и энерговооруженностью, при неизменной фондовооруженности, в данной выборке нет.

Частные коэффициенты эластичности:

А. эух 1(х 2) = а 1*х 1ср/у ср

т.е. при увеличении фондовооруженности на 1% и неизменной энерговооруженности, производительность труда увеличится на 3,807%.

Б. эух 2(х 1) = а 2*х 2ср/у ср

т.е. при увеличении энерговооруженности, производительность труда не изменится.

Частные бета β коэффициенты:

А. βух 1(х 2) = а 1*ох 1/ оу

это означает, что при неизменной энерговооруженности, увеличение на величину среднеквадратического отклонения размера фондовооруженности приведет к увеличению средней производительности труда на 1,444 среднеквадратического отклонения.

Б. Βух 2(х 1) = а 2*ох 2/ оу

это означает, что связи нет.