Контрольная работа: Парная регрессия

Контрольная работа

по теме: "Парная линейная регрессия"

Данные, характеризующие прибыль торговой компании "Все для себя" за первые 10 месяцев 2004 года (в тыс. руб.), даны в следующей таблице:

В контрольной работе с использованием табличного процессора Ехсе l необходимо выполнить следующие вычисления и построения:

1. Построить диаграмму рассеяния.

2. Убедится в наличии тенденции (тренда) в заданных значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде.

3. Построить линейную парную регрессию (регрессию вида ). Вычисление коэффициентов b ₀ , b ₁ выполнить методом наименьших квадратов.

4. Нанести график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислить значения статистики F и коэффициента детерминации R ² . Проверить гипотезу о значимости построенного уравнения регрессии.

6. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении.

7. Вычислить оценку дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

8. Проверить гипотезы о значимости вычисленных коэффициентов b ₀ , b ₁ .

9. Построить доверительные интервалы для коэффициентов b ₀ , b ₁ .

10. Построить доверительные интервалы для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели.

11. Построить доверительную область для условного математического ожидания М()( по оси Х откладывать месяцы январь - декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния.

12. С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения с границами доверительной области для условного математического ожидания М( ) и сделать вывод о точности прогнозирования с помощью построенной регрессионной модели.

Решение.

Используя исходные данные, строим диаграмму рассеяния:

На основе анализа диаграммы рассеяния убеждаемся в наличии тенденции увеличения прибыли фирмы и выдвигаем гипотезу о линейном тренде.

Полагаем, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией. Решение задачи нахождения коэффициентов b ₀ , b ₁ основывается на применении метода наименьших квадратов исводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными b ₀ , b ₁ :

b ₀ n + b ₁ Уx_i = Уy_i ,

b ₀ Уx_i + b ₁ Уx_i ² = Уx_i y_i .

Составляем вспомогательную таблицу:

Для нашей задачи система имеет вид:

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:

Получаем:

, .

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:

y =364,8 + 21,145x.

4. Нанесем график регрессии на диаграмму рассеяния.

5. Вычислим значения статистики F и коэффициента детерминации R ² . Коэффициент детерминации рассчитаем по формуле R² = r_xy ² = 0,952² = 0,907. Проверим адекватность модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия. Рассчитаем значение статистики F через коэффициент детерминации R² по формуле:

Получаем: . Зададим уровень значимости б =0,01, по таблице находим квантиль распределения Фишера F_0,01;1;8 = 11,26, где 1 – число степеней свободы.

F_факт. > F_0,01;1;8 , т.к. 78,098 > 11,26.

Следовательно, делаем вывод о значимости уравнения регрессии при 99% - м уровне значимости.

6. Вычислим выборочный коэффициент корреляции и проверим гипотезу о ненулевом его значении.

Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции по формуле:

Получаем:

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме:если , то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t_{1-б/2, n -2} – квантиль распределения Стьюдента, б - уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение б задается. Примем б = 0,05, тогда t_{1-б/2, n -2} = t_0,975,8 = 2,37. Получаем:

.

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у.

С использованием табличного процессора Ехсеl проведем регрессионную статистику:

Вывод итогов:

Вычисленные значения коэффициентов b ₀ , b ₁ , значения статистики F , коэффициента детерминации R ² выборочного коэффициента корреляции r_xy совпадают с выделенными в таблице.

7. Оценка дисперсии случайной составляющей эконометрической модели вычисляется по формуле .

Используя результаты регрессионной статистики, получаем:

.

8. Проверим значимость вычисленных коэффициентов b ₀ , b ₁ по t-критерию Стьюдента. Для этого проверяем выполнение неравенств:

и ,

где

, , , .

Используем результаты регрессионной статистики:

Получаем: ; Примем б = 0,05, тогда t_{1-б/2, n -2} = t_0,975,8 = 2,37.

Так как и , делаем вывод о значимости коэффициентов линейного уравнения регрессии.

9. Доверительные интервалы для коэффициентов b ₀ , b ₁ получаем с помощью результатов регрессионной статистики.

Доверительный интервал для коэффициента b ₀ уравнения регрессии:

Доверительный интервал для коэффициента b ₁ уравнения регрессии:

10. Построим доверительный интервал для дисперсии случайной составляющей эконометрической модели по формуле:

.

Примем б = 0,05, тогда по таблице для 10-элементной выборки q = 0,65.

Получаем:

,

.

11. Построим доверительную область для условного математического ожидания М().

Доверительные интервалы для уравнения линейной регрессии: находятся по формуле:

где соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала; значение независимой переменной для которого определяется доверительный интервал, квантиль распределения Стьюдента, доверительная вероятность, (n-2) – число степеней свободы;

Рассмотрим уравнение: y =364,8 + 21,145x. Пусть тогда . Зная и , заполним таблицу:

1	385,95	20,25	4,634	377,327	394,564
2	407,09	12,25	5,215	397,391	416,791
3	428,24	6,25	5,738	417,564	438,908
4	449,38	2,25	6,217	437,819	460,945
5	470,53	0,25	6,661	458,138	482,917
6	491,67	0,25	7,078	478,508	504,838
7	512,82	2,25	7,471	498,921	526,715
8	533,96	6,25	7,845	519,372	548,556
9	555,11	12,25	8,202	539,854	570,365
10	576,25	20,25	8,544	560,363	592,146
сумма		82,5
11	597,4	30,25	8,873	580,897	613,903
12	618,55	42,25	9,190	601,453	635,638

График уравнения регрессии, доверительная полоса, диаграмма рассеяния:

12. С помощью линейной парной регрессии сделаем прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц:

597,4, 618,55.

Нанесем эти значения на диаграмму рассеяния.

Эти значения сопоставимы с границами доверительной области для условного математического ожидания М( ).

Точность прогнозирования: с вероятностью 0,95 прибыль в ноябре находится в интервале (487,292; 515,508); прибыль в декабре находится в интервале (497,152; 526,376).