1.4. Решить задачу с использованием графического метода
 ,
Решение
1) Многоугольник решений.
Найдем точки, через которые пройдут предельные прямые [1, c. 20].
 
 
 
Строим многоугольник решений.
2) Оптимальные точки.
Строим вектор нормали, координаты которого  . Передвигая линию уровня r в направлении нормали, находим, что Zmin
находится в точке A, Zmax
– в точке C.
3) Вычисление координат экстремумов.
Точка A – пересечение прямых L1
и L3
:
Точка C – пересечение прямых L2
и L3
:
4) Подсчет оптимальных значений.
Ответ: 88/3, 46.
2.4. Для изготовления 2-х видов продукции P1
и P2
используется 3 вида ресурсов R1
, R2
, R3
. Запасы ресурсов, нормы их использования и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице. Найти план производства продукции, которой бы при заданных условиях обеспечивал наибольшую прибыль.
Задачу решить графическим способом и симплексным методом, составить двойственную задачу к исходной и выписать ее оптимальный план из последней симплекс-таблицы решенной исходной задачи.
 Pi
Ri
|
Р1
|
Р2
|
Запасы
ресурсов
|
| R1
|
2 |
5 |
80 |
| R2
|
4 |
3 |
91 |
| R3
|
1 |
4 |
68 |
| Прибыль |
15 |
12 |
Решение
Составим математическую модель задачи. Искомый выпуск продукции P1
обозначим через x1
, продукции P2
– через x2
. Поскольку есть ограничение на выделенные ресурсы каждого вида, переменные x1
, x2
должны удовлетворять такой системе неравенств:
Общая стоимость продукции при этом составляет: z = 15x1
+ 12x2
.
По своему экономическому содержанию переменные x1
, x2
больше 0.
Следовательно, приходим к математической задаче: среди всех неотрицательных решений системы неравенств нужно найти такое, при котором функция z примет максимальное значение.
Решим задачу графическим способом.
1) Многоугольник решений
Найдем точки, через которые пройдут предельные прямые [1, c. 20].
 
 
 
Строим многоугольник решений.
2) Оптимальные точки.
Строим вектор нормали, координаты которого  . Передвигая линию уровня r в направлении нормали, находим, что Fmin
находится в точке O, Fmax
- в точке C.
3) Вычисление координат экстремумов.
Точка C - пересечение прямых L1
и L2
:
4) Подсчет оптимальных значений.
Ответ: 4881/14.
Решим задачу ЛП симплекс-методом [1, c. 30].
Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем к ограничениям-уравнениям. Введем дополнительные 3 переменные – x3
, x4
, x5
, в результате чего ограничения запишутся в виде уравнений:
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Зарегистрироваться и Начать продвижение
Построим начальную симплекс-таблицу, где Q – неотрицательное отношение столбца плана к ключевому столбцу.
| № |
Базис |
Cб
|
План |
15 |
12 |
0 |
0 |
0 |
Q |
| x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
| 1 |
x3
|
0 |
80 |
2 |
5 |
1 |
0 |
0 |
40 |
| 2 |
x4
|
0 |
91 |
4 |
3 |
0 |
1 |
0 |
91/4 |
| 3 |
x5
|
0 |
68 |
1 |
4 |
0 |
0 |
1 |
68 |
| 4 |
 |
0 |
-15 |
-12 |
0 |
0 |
0 |
– |
Cтолбик 1 есть ключевым, поскольку он содержит минимальный отрицательный элемент 
Строка 2 есть ключевой, поскольку в ней минимальное Q2
=91/4.
Ключевой элемент находится на их пересечении и равный числу 4.
Вместо вектора x4
, который выводим из базиса, вводим вектор x1
.
Делим ключевую строку на ключевой элемент 4.
Умножаем его на 15 и добавляем к 4 строке.
Умножаем его на -2 и добавляем к 1 строке.
Умножаем его на -1 и добавляем к 3 строке.
Получим следующую симплекс-таблицу.
| № |
Базис |
Cб
|
План |
15 |
12 |
0 |
0 |
0 |
Q |
| x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
| 1 |
x3
|
0 |
69/2 |
0 |
7/2 |
1 |
-1/2 |
0 |
69/7 |
| 2 |
x1
|
15 |
91/4 |
1 |
3/4 |
0 |
1/4 |
0 |
91/3 |
| 3 |
x5
|
0 |
181/4 |
0 |
13/4 |
0 |
-1/4 |
1 |
181/13 |
| 4 |
|
1365/4 |
0 |
-3/4 |
0 |
15/4 |
0 |
– |
Cтолбик 2 есть ключевым, поскольку он содержит минимальный отрицательный элемент 
Строка 1 есть ключевой, поскольку в ней минимальное Q1
=69/7.
Ключевой элемент находится на их пересечении и равный числу 7/2.
Вместо вектора x3
, который выводим из базиса, вводим вектор x2
.
Делим ключевую строку на ключевой элемент 7/2.
Умножаем его на 3/4 и добавляем к 4 строке.
Умножаем его на -3/4 и добавляем к 2 строке.
Умножаем его на -13/4 и добавляем к 3 строке.
Получим окончательную симплекс-таблицу.
| № |
Базис |
Cб
|
План |
15 |
12 |
0 |
0 |
0 |
| x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
| 1 |
x2
|
12 |
69/7 |
0 |
1 |
2/7 |
-1/7 |
0 |
| 2 |
x1
|
15 |
215/14 |
1 |
0 |
-3/14 |
5/14 |
0 |
| 3 |
x5
|
0 |
185/14 |
0 |
0 |
-13/14 |
3/14 |
1 |
| 4 |
|
4881/14 |
0 |
0 |
3/14 |
51/14 |
0 |
 
Составим двойственную задачу к данной [1, c. 88]. Ее коэффициенты складываются с исходной путем транспонирования. Систему ограничений составят коэффициенты оптимизирующей функции. Коэффициентами оптимизирующей функции z будут свободные члены исходной системы. Знаки неравенств изменятся на противоположные. Оптимизирующая функция – минимум функции. Двойственная задача будет заключаться в том, чтобы составить такой план производства, при котором затраты ресурсов будут минимальными.
Следовательно, через y1
обозначим стоимость единицы ресурса 1 вида или А1
, y2
– стоимость единицы А2
, y3
– стоимость единицы А3
. Тогда  – стоимость продукции Р1
, которая не может быть дешевле чем 15 у.д.е. (условных денежных единиц), то есть первое неравенство: . Аналогично  .
Общие потери ресурсов выражаются оптимизирующей функцией:
 при  .
Следовательно, математически это запишется так:
С 4 рядка последней симплекс-таблицы виписываем оптимальный план, где y1
=x3
, y2
=x4
, y3
=x5
, тоесть  .
 .
Значение  отвечает значению 4881/14, что находится в 0 рядке планового столбика.
С экономической точки зрения нулевое значение переменной у3
значит, что для минимальных издержек стоимость ресурсів R3
должна равняться 0.
Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Зарегистрироваться в сервисе
Таким образом, продукции P1
и P2
нужно производить 215/14 и 69/14 ед. соответственно. Максимальная прибыль при этом составит 4881/14 у.д.е.
Ответ:
3.4. Найти оптимальный план транспортной задачи.
Решение
Запишем условие задачи в экономическом виде на основании таблицы, где заданы пункты отправления и назначения, запасы и потребности [1, c. 135].
| Пункты отправления |
Пункты назначения |
Запасы |
| B1
|
B2
|
B3
|
B4
|
| A1
|
9 |
8 |
7 |
4 |
220 |
| A2
|
5 |
6 |
10 |
3 |
120 |
| A3
|
2 |
3 |
5 |
7 |
150 |
| Потребности |
200 |
200 |
140 |
180 |
720\490 |
Поскольку запасы и потребности не совпадают, имеем задачу с неправильным балансом или открытую, следовательно введем фиктивный пункт отправления с количеством 230 единиц груза.
1) Диагональный метод
Найдем опорный план диагональным методом [1, c. 140].
B
A
|
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
| 200 |
200 |
140 |
180 |
| 1 |
220 |
9 |
8 |
7 |
4 |
0 |
| 200 |
20 |
– |
0 |
+ |
| 2 |
120 |
5 |
6 |
10 |
3 |
–2 |
| 120 |
| 3 |
150 |
2 |
3 |
5 |
7 |
–5 |
| 60 |
+ |
90 |
– |
| 4 |
230 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–10 |
| 50 |
+ |
180 |
– |
| b |
9 |
8 |
10 |
10 |
Стоимость начального плана перевозки:
z0
= 200 · 9+20 · 8+120 · 6+60 · 3+90 · 5+50 · 0+180 · 0 = 3310.
Для базисных клеток система потенциалов такая:
a1
+b1
=9; a1
+b2
=8;
a2
+b2
=6;
a3
+b2
=3; a3
+b3
=5;
a4
+b3
=0; a4
+b4
=0.
Поскольку количество переменных меньше, чем уравнений, то положим: a1
=0. Проверяем условие оптимальности для свободных клеток: a + b ≤ c
a1
+b3
=0+10=10 > 7 [3]; a1
+b4
=0+10=10 > 4 [6];
a2
+b1
=–2+9=7 > 5 [2]; a2
+b3
=–2+10=8 ≤ 10; a2
+b4
=–2+10=8 > 3 [5];
a3
+b1
=–5+9=4 > 2 [2]; a3
+b4
=–5+10=5 ≤ 7;
a4
+b1
=–10+9=–1 ≤ 0; a4
+b2
=–10+8=–2 ≤ 0;
Для клетки A1
B4
(из тех, что не выполняется условие оптимальности) разница потенциалов наибольшая, потому для нее делаем цикл пересчета на минимальную величину отрицательных вершин: min(20, 90, 180)=20.
Переходим к следующей итерации.
B
A
|
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
| 200 |
200 |
140 |
180 |
| 1 |
220 |
9 |
8 |
7 |
4 |
0 |
| 200 |
– |
20 |
+ |
| 2 |
120 |
5 |
6 |
10 |
3 |
4 |
| 0 |
+ |
120 |
– |
| 3 |
150 |
2 |
3 |
5 |
7 |
1 |
| 80 |
+ |
70 |
– |
| 4 |
230 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–4 |
| 70 |
+ |
160 |
– |
| b |
9 |
2 |
4 |
4 |
Стоимость 1 плана перевозки:
z1
= 200 · 9+20 · 4+120 · 6+80 · 3+70 · 5+70 · 0+160 · 0 = 3190.
Для базисных клеток система потенциалов такая:
a1
+b1
=9; a1
+b4
=4;
a2
+b2
=6;
a3
+b2
=3; a3
+b3
=5;
a4
+b3
=0; a4
+b4
=0.
Поскольку количество переменных меньше, чем уравнений, то положим: a1
=0. Проверяем условие оптимальности для свободных клеток: a + b ≤ c
a1
+b2
=0+2=2 ≤ 8; a1
+b3
=0+4=4 ≤ 7;
a2
+b1
=4+9=13 > 5 [8]; a2
+b3
=4+4=8 ≤ 10; a2
+b4
=4+4=8 > 3 [5];
a3
+b1
=1+9=10 > 2 [8]; a3
+b4
=1+4=5 ≤ 7;
a4
+b1
=–4+9=5 > 0 [5]; a4
+b2
=–4+2=–2 ≤ 0;
Для клетки A2
B1
(из тех, что не выполняется условие оптимальности) разница потенциалов наибольшая, потому для нее делаем цикл пересчета на минимальную величину отрицательных вершин: min(200, 160, 70, 120)=70.
Переходим к следующей итерации.
B
A
|
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
| 200 |
200 |
140 |
180 |
| 1 |
220 |
9 |
8 |
7 |
4 |
0 |
| 130 |
– |
90 |
+ |
| 2 |
120 |
5 |
6 |
10 |
3 |
–4 |
| 70 |
+ |
50 |
– |
| 3 |
150 |
2 |
3 |
5 |
7 |
–7 |
| 150 |
| 4 |
230 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–4 |
| 0 |
+ |
140 |
90 |
– |
| b |
9 |
10 |
4 |
4 |
Стоимость 2 плана перевозки:
z2
= 130 · 9+90 · 4+70 · 5+50 · 6+150 · 3+140 · 0+90 · 0 = 2630.
Для базисных клеток система потенциалов такая:
a1
+b1
=9; a1
+b4
=4;
a2
+b1
=5; a2
+b2
=6;
a3
+b2
=3;
a4
+b3
=0; a4
+b4
=0.
Поскольку количество переменных меньше, чем уравнений, то положим: a1
=0. Проверяем условие оптимальности для свободных клеток: a + b ≤ c
a1
+b2
=0+10=10 > 8 [2]; a1
+b3
=0+4=4 ≤ 7;
a2
+b3
=–4+4=0 ≤ 10; a2
+b4
=–4+4=0 ≤ 3;
a3
+b1
=–7+9=2 ≤ 2; a3
+b3
=–7+4=–3 ≤ 5; a3
+b4
=–7+4=–3 ≤ 7;
a4
+b1
=–4+9=5 > 0 [5]; a4
+b2
=–4+10=6 > 0 [6];
Для клетки A4
B2
(из тех, что не выполняется условие оптимальности) разница потенциалов наибольшая, потому для нее делаем цикл пересчета на минимальную величину отрицательных вершин: min(50, 130, 90)=50.
Переходим к следующей итерации.
B
A
|
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
| 200 |
200 |
140 |
180 |
| 1 |
220 |
9 |
8 |
7 |
4 |
0 |
| 80 |
– |
140 |
+ |
| 2 |
120 |
5 |
6 |
10 |
3 |
–4 |
| 120 |
| 3 |
150 |
2 |
3 |
5 |
7 |
–1 |
| 0 |
+ |
150 |
– |
| 4 |
230 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–4 |
| 50 |
+ |
140 |
40 |
– |
| b |
9 |
4 |
4 |
4 |
Стоимость 3 плана перевозки:
z3
= 80 · 9+140 · 4+120 · 5+150 · 3+50 · 0+140 · 0+40 · 0 = 2330.
Для базисных клеток система потенциалов такая:
a1
+b1
=9; a1
+b4
=4;
a2
+b1
=5;
a3
+b2
=3;
a4
+b2
=0; a4
+b3
=0; a4
+b4
=0.
Поскольку количество переменных меньше, чем уравнений, то положим: a1
=0. Проверяем условие оптимальности для свободных клеток: a + b ≤ c
a1
+b2
=0+4=4 ≤ 8; a1
+b3
=0+4=4 ≤ 7;
a2
+b2
=–4+4=0 ≤ 6; a2
+b3
=–4+4=0 ≤ 10; a2
+b4
=–4+4=0 ≤ 3;
a3
+b1
=–1+9=8 > 2 [6]; a3
+b3
=–1+4=3 ≤ 5; a3
+b4
=–1+4=3 ≤ 7;
a4
+b1
=–4+9=5 > 0 [5];
Для клетки A3
B1
(из тех, что не выполняется условие оптимальности) разница потенциалов наибольшая, потому для нее делаем цикл пересчета на минимальную величину отрицательных вершин: min(80, 40, 150)=40.
Переходим к следующей итерации.
B
A
|
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
| 200 |
200 |
140 |
180 |
| 1 |
220 |
9 |
8 |
7 |
4 |
0 |
| 40 |
– |
0 |
+ |
180 |
| 2 |
120 |
5 |
6 |
10 |
3 |
–4 |
| 120 |
| 3 |
150 |
2 |
3 |
5 |
7 |
–7 |
| 40 |
+ |
110 |
– |
| 4 |
230 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–10 |
| 90 |
+ |
140 |
– |
| b |
9 |
10 |
10 |
4 |
Стоимость 4 плана перевозки:
z4
= 40 · 9+180 · 4+120 · 5+40 · 2+110 · 3+90 · 0+140 · 0 = 2090.
Для базисных клеток система потенциалов такая:
a1
+b1
=9; a1
+b4
=4;
a2
+b1
=5;
a3
+b1
=2; a3
+b2
=3;
a4
+b2
=0; a4
+b3
=0;
Поскольку количество переменных меньше, чем уравнений, то положим: a1
=0. Проверяем условие оптимальности для свободных клеток: a + b ≤ c
a1
+b2
=0+10=10 > 8 [2]; a1
+b3
=0+10=10 > 7 [3];
a2
+b2
=–4+10=6 ≤ 6; a2
+b3
=–4+10=6 ≤ 10; a2
+b4
=–4+4=0 ≤ 3;
a3
+b3
=–7+10=3 ≤ 5; a3
+b4
=–7+4=–3 ≤ 7;
a4
+b1
=–10+9=–1 ≤ 0; a4
+b4
=–10+4=–6 ≤ 0;
Для клетки A1
B3
(из тех, что не выполняется условие оптимальности) разница потенциалов наибольшая, потому для нее делаем цикл пересчета на минимальную величину отрицательных вершин: min(40, 110, 140)=40.
Переходим к следующей итерации.
B
A
|
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
| 200 |
200 |
140 |
180 |
| 1 |
220 |
9 |
8 |
7 |
4 |
0 |
| 40 |
180 |
| 2 |
120 |
5 |
6 |
10 |
3 |
–1 |
| 120 |
| 3 |
150 |
2 |
3 |
5 |
7 |
–4 |
| 80 |
70 |
| 4 |
230 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–7 |
| 130 |
100 |
| b |
6 |
7 |
7 |
4 |
Стоимость 5 плана перевозки:
z5
= 40 · 7+180 · 4+120 · 5+80 · 2+70 · 3+130 · 0+100 · 0 = 1970.
Для базисных клеток система потенциалов такая:
a1
+b3
=7; a1
+b4
=4;
a2
+b1
=5;
a3
+b1
=2; a3
+b2
=3;
a4
+b2
=0; a4
+b3
=0;
Поскольку количество переменных меньше, чем уравнений, то положим: a1
=0. Проверяем условие оптимальности для свободных клеток: a + b ≤ c
a1
+b1
=0+6=6 ≤ 9; a1
+b2
=0+7=7 ≤ 8;
a2
+b2
=–1+7=6 ≤ 6; a2
+b3
=–1+7=6 ≤ 10; a2
+b4
=–1+4=3 ≤ 3;
a3
+b3
=–4+7=3 ≤ 5; a3
+b4
=–4+4=0 ≤ 7;
a4
+b1
=–7+6=–1 ≤ 0; a4
+b4
=–7+4=–3 ≤ 0;
Условие оптимальности выполняется для всех клеток, следовательно последний план является оптимальным. Его стоимость составляет 1970 у.е. Следует заметить, что потребители не дополучат 230 ед. груза.
2) Метод минимальной стоимости
Найдем опорный план методом минимальной стоимости [1, c. 142].
B
A
|
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
| 200 |
200 |
140 |
180 |
| 1 |
220 |
9 |
8 |
7 |
4 |
0 |
| 40 |
180 |
| 2 |
120 |
5 |
6 |
10 |
3 |
–1 |
| 120 |
| 3 |
150 |
2 |
3 |
5 |
7 |
–4 |
| 80 |
70 |
| 4 |
230 |
0 |
0 |
0 |
0 |
–7 |
| 130 |
100 |
| b |
6 |
7 |
7 |
4 |
Стоимость начального плана перевозки:
z0
= 40 · 7+180 · 4+120 · 5+80 · 2+70 · 3+130 · 0+100 · 0 = 1970.
Для базисных клеток система потенциалов такая:
a1
+b3
=7; a1
+b4
=4;
a2
+b1
=5;
a3
+b1
=2; a3
+b2
=3;
a4
+b2
=0; a4
+b3
=0;
Поскольку количество переменных меньше, чем уравнений, то положим: a1
=0. Проверяем условие оптимальности для свободных клеток: a + b ≤ c
a1
+b1
=0+6=6 ≤ 9; a1
+b2
=0+7=7 ≤ 8;
a2
+b2
=–1+7=6 ≤ 6; a2
+b3
=–1+7=6 ≤ 10; a2
+b4
=–1+4=3 ≤ 3;
a3
+b3
=–4+7=3 ≤ 5; a3
+b4
=–4+4=0 ≤ 7;
a4
+b1
=–7+6=–1 ≤ 0; a4
+b4
=–7+4=–3 ≤ 0;
Условие оптимальности выполняется для всех клеток, следовательно последний план является оптимальным. Его стоимость составляет 1970 у.е. Следует заметить, что потребители не дополучат 230 ед. груза.
Также отмечаем совпадение решений двумя методами.
Ответ: 1970.
Література
1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1986. – 319 с.
2. Костевич Л. С. Математическое программирование. Мн.: Новое знание, 2003. – 424 с.
|
