Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Кафедра: Функциональный анализ и его приложения
Самостоятельная работа по математике
Владимир 2009
Задача 1.  Коллинеарность векторов
а = { 2; -1; 6 } в = { -1; 3; 8 }
c1
=5a – 2b = {5*2 – 2*(-1); 5*(-1) – 2*3; 5*6-2*8 } = {12; -11; 14 }
с2
=2а – 5в = {2*2 – 5*(-1); 2*(-1) – 5*3; 2*6-5*8 } = {9; -17; -28 }
 ≠  ≠-
12/9 ≠ 11/17 ≠ -14/28
Ответ: не коллинеарны.
Задача 2. Косинус угла между векторами АВ и АС
А (3; 3; -1 ) B (5; 1; -2 ) C (4; 1; -3 )
 = {2; -2; -1 } || = = 
 = {1; -2; -2 } || =  =
cos (ˆ) =  = 
Задача 3. Площадь параллелограмма построенного на векторах а и в.
а=5p-qb=p+q |p|=5 |q|=3 (pˆq) = 5
S=|5p- q|*|p+ q|=|5p*p + 5p*q - q*p - q*q|=|5p*q+ p*q| =6*|p*q|=6|p|*|q|*sin(pˆq)=
=6*5*3*sin5
sin5= 90*=45
Задача 4. Компланарность векторов а, в, с.
а = { 1; -1; 4 } в = { 1; 0; 3 } с = { 1; -3; 8 }
1*(0*8 - 3*(-3)) - (-1)*(1*8 - 1*3)+4(1*(-3) - 1*0)=9 + 5 - 12=2
2≠0 - не компланарны.
Задача 5. Объем тетраэдра с вершинами в точках А1
А2
А3
А4
и его высоту, опущенную из вершины А4
на грань А1
А2
А3
.
А1
= { 0; -3; 1 } А2
= { -4; 1; 2 } А3
= { 2; -1; 5 } А4
= { 3; 1; -4 }
 =
{ -4; 4; 1 }
 =
{ 2; 2; 4 }
 =
{ 3; 4; -5 }
= * |(-4)*(2*(-5) - 4*4) - 4*(2*(-5) - 3*4) + 1*(2*4 - 3*2)=
=|40 + 64 + 40 + 48 + 8 - 6|=194=32,33
= |i*(4*4 - 1*2) - j*((-4)*4 - 2*1)+k*((-4)*2 - 2*4)= |14i + 18j - 16k|=
=√142
+182
-162
=√264=*16,25=8,125
h= =11,94
Задача 6. Расстояние от точки М0
до плоскости, проходящей через три точки
 .
М1
(1; 2; 0 ) М2
(3; 0; -3 ) М3
(5; 2; 6 ) М0
(-13; -8; 16 )
(х-1) * ((-2)*6 - 0*(-3)) - (у-2)*(2*6 - 4*(-3)) + (z- 0)*(2*0 - 4*(-2))=0
(-12)*(х - 1) - 24*(у - 2) + 8*(z- 0) = 0
(-3)*(х - 1) - 6*(у - 2) + 2*(z- 0)=0
-3х - 6у + 2Z+ 15 = 0
d= =
Задача 7. Уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору  .
А (-3; -1; 7 ) B (0; 2; -6 ) C (2; 3; -5 )
={2; 1; 1}
2*(х + 3) + 1*(у + 1) + 1*(z- 7)=0
2х + у + z= 0
Задача 8. Угол между плоскостями
2у + z- 9=0
х - у + 2z- 1=0
п1
={0; 2; 1 }
п2={1; -1; 2 }
cosφ= = =90
Задача 9. Координаты точки А, равноудаленной от точек В и С.
А (х; 0; 0 ) B (4; 5; -2 ) C (2; 3; 4 )
АВ= = =
АС= = =
=
 =х2
- 4х+29
х2
- х2
- 8х + 4х=29 – 45
-4х=-16
х=4
А (4; 0; 0 )
Задача 10. Канонические уравнения прямой
х - 3у + z + 2 = 0
х + 3у + 2z + 14 = 0
= i*((-3)*2 - 3*1)-j*(1*2 - 1*1)+k*(1*3 - 1*(-3) = -9i-j+ 6k=
 = { -9; -1; 6}
 (-8; 0; 0 )  =  = 
Задача 11. Точка пересечения прямой и плоскости
 =  = 
3х – 2у + 5z – 3 = 0
= = = t
3*(1 + 6t) - 2*(3 + t) + 5*((-5) + 3t) – 3 = 0
3 + 18t – 6 - 2t – 25 + 15t – 3 = 0
31t – 31 = 0
31t = 31
t = 1
х = 1 + 6*1 у = 3 + 1 z = (-5) + 3*1
х = 7у = 4 z = -2
( 7; 4; -2 )
|
