МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Допущена к защите
Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.
«____»_________________ 2003 г.
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ
Дипломная работа
Исполнитель: студентка группы М-51
_____________________ ПЛИКУС Т.Е.
Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.
_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.
Рецензент:доцент, к.ф-м.н.
_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.
Гомель 2003
 Реферат
Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.
Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.
Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.
Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.
Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.
Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.
Содержание
Введение
1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Заключение
Список использованных источников
Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)
Введение
Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений
 (0.1)
с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].
Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.
 (0.2)
Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
 (0.3)
В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:
x3
+a1
x2
y+b1
xy2
+g1
y3
+a2
x2
+b2
xy+g2
y2
+b3
x+g3
y+d=0, (0.4)
mx+ny+p=0 (0.5)
в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.
Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(1.1)
Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:
  , (1.2)
где Fk
(x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:
  . (1.3)
Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:
F(x,y)ºx3
+a1
x2
y+b1
xy2
+g1
y3
+a2
x2
+b2
xy+g2
y2
+b3
x+g3
y+d=0 (1.4)
Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:
(3x2+2a1
xy+b1
y2
+2a2
x+b2
y+b3
)(ax+by+a1
x2
+2b1
xy+c1
y2
)+(a1
x2
+
2b1
xy+3g1
y2
+b2
x+2g2
y+g3
)(cx+dy+a2
x2
+2b2
xy+c2
y2
)=(x3+a1
x2
y+b1
xy2
+ (1.5)
g1
y3
+a2
x2
+b2
xy+g2
y2
+b3
x+g3
y+d)(fx+gy+k).
Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений
xm
yn
слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):
3a1+
a1
a2
-f=0, (1.61
)
(2a1
+2b2
-f)a1
+2a2
b1
-g+6b1
=0, (1.62
)
2a1
c1
+(2b1
+2c2
-g)b1
+(6b2
-f)g1
=0, (1.63
)
(4b1
+c2
-g)a1
+(a1
+4b2
-f)b1
+3a2
g1
+3c1
=0, (1.64
)
c1
b1
+(3c2
-g)g1
=0; (1.65
)
ca1
+(2a1
-f)a2
+a2
b2
-k+3a=0, (1.71
)
(2a+d-k)a1
+2cb1+(4b1
-g)a2+(a1
+2b2
-f)b2+2a2
g2
+3b=0, (1.72
)
2ba1
+(a+2d-k)b1
+3cg1
+2c1
a2
+(2b1
+c2
-g)b2
+(4b2
-f)g2
=0, (1.73
)
bb1
+(3d-k)g1
+c1
b2
+(2c2
-g)g2
=0; (1.74
)
(2a-k)a2
+cb2
+(a1
-f)b3
+a2
g3
=0, (1.81
)
2ba2
+(a+d-k)b2
+2cg2
+(2b1
-g)b3
+(2b2
-f)g3
=0, (1.82
)
bb2
+(2d-k)g2
+c1
b3
+(c2
-g)g3
=0; (1.83
)
(a-k)b3
+cg3
-df=0, (1.91
)
bb3
+(d-k)g3
-dg=0, (1.92
)
dk=0. (1.93
)
Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.93
) в этом случае k=0.
Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a2
=c1
=0, а коэффициенты a1
, b1
, g1
интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.
Уравнения (1.61
) – (1.93
) при этих предположениях будут иметь вид:
3a1
-f=0, (1.101
)
g+6b1
=0; (1.102
)
(2a1
-f)a2
+3a=0, (1.111
)
(4b1
-g)a2+(a1
+2b2
-f)b2+3b=0, (1.112
)
(2b1
+c2
-g)b2
+(4b2
-f)g2
=0, (1.113
)
(2c2
-g)g2
=0; (1.114
)
2aa2
+cb2
+(a1
-f)b3
=0, (1.121
)
2ba2
+(a+d)b2
+2cg2
+(2b1
-g)b3
+(2b2
-f)g3
=0, (1.122
)
bb2
+2dg2
+(c2
-g)g3
=0; (1.123
)
ab3
+cg3
-df=0, (1.131
)
bb3
+dg3
-dg=0. (1.132
)
Из условий (1.101
) и (1.102
) получаем, что
f = 2a1,
g = 6b1
.
Из условия (1.114
) имеем
(2c2
-g)g2
=0.
Пусть g2 ,
тогда
2c2
-g=0 и g=2c2
,
с другой стороны g = 6b1
, значит
c2
=3b1
.
Имея условия f = 2a1,
g = 6b1,
c2
=3b1
, из соотношений (1.111
) – (1.113
), (1.121
), (1.123
) и (1.131
) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:
a2 =
, b2
=  ,
g2
=  , b3
=  ,
g3
=  ,(1.15)
d =  .
Равенства (1.122
) и (1.132
) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1
, b1
, b2
:
(2ab1
-ba1
)[3(32a1
b1
b2
-15a1
2
b1
-16b1
b2
2
) a+(8a1
b2
2
-18a1
2
b2
+9a1
3
) b+
24(a1
b1
2
-b1
2
b2
) c+(16a1
b1
b2
-15a1
2
b1
) d]=0, (1.16)
(2ab1
-ba1
)[12(7a1
b1
b2
-3a1
2
b1
-4b1
b2
2
) a2
+6(3a1
b1
2
-4b1
2
b2
) ac+(3a1
2
b1
-
-4a1
b1
b2
) bc+2(4a1
2
b2
-3a1
3
)bd –8a1
b1
2
cd+4a1
2
b1
d2
]=0. (1.17)
Итак, установлена следующая теорема:
Теорема 1.1
Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и
c
1
=
a
2
= 0,
c
2
= 3
b
1
.
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:
mx+ny+p=0. (1.18)
В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа
a2
=c1
=0, c2
=3b1
. (1.19)
Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:
m(ax+by+a1
x2
+2b1
xy)+n(cx+dy+2b2
xy+3b1
y2
)=
=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)
Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm
yn
, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):
(a1
-a)m= 0, (1.211
)
(2b1
-b)m+(2b2
-a)n=0, (1.212
)
(3b1
-b)n=0; (1.213
)
(a-g)m+cn-pa=0, (1.221
)
bm+(d-g)n-bp= 0, (1.222
)
pg= 0. (1.223
)
Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.223
) получаем, что g=0.
Условия (1.221
), (1.222
) запишутся в виде:
am+cn-pa=0, (1.231
)
bm+dn-bp= 0. (1.232
)
Из условий (1.211
) и (1.213
) имеем:
(a1
-a)m= 0,
(3b1
-b)n=0.
Пусть m¹0, тогда a1
-a=0 и
a=a1
, (1.24)
а при n¹0, получаем, что 3b1
-b=0 и
b=3b1.
(1.25)
Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.212
) находим выражение коэффициента m:
m= , (1.26)
а соотношение (1.231
) даст значение коэффициента p:
p= . (1.27)
Из равенства (1.232
), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):
[3(a1
b1
-2b1
b2
) a+(2a1
b2
-a1
2
) b-3b1
2
c+a1
b1
d] n=0. (1.28)
Итак, установлена следующая теорема:
Теорема 1.2
Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1
=a2
= 0, c2
= 3b1
.
В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(2ab1
-ba1
)[3(32a1
b1
b2
-15a1
2
b1
-16b1
b2
2
) a+(8a1
b2
2
-18a1
2
b2
+9a1
3
) b+
24(a1
b1
2
-b1
2
b2
) c+(16a1
b1
b2
-15a1
2
b1
) d]=0,
(2ab1
-ba1
)[12(7a1
b1
b2
-3a1
2
b1
-4b1
b2
2
) a2
+6(3a1
b1
2
-4b1
2
b2
) ac+(3a1
2
b1
-
-4a1
b1
b2
) bc+2(4a1
2
b2
-3a1
3
)bd –8a1
b1
2
cd+4a1
2
b1
d2
]=0,
[3(a1
b1
-2b1
b2
) a+(2a1
b2
-a1
2
) b-3b1
2
c+a1
b1
d] n=0.
Причем b1
¹0, a1
¹0, 2b1
a-ba1
¹0.
Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты
a1
= , b1
=1, b2
=0.
Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:
 a- b-3c+d=0, (1.30)
- a+ b+6c- d=0, (1.31)
- a2
+d2
+ ac+ bc- bd-2cd=0. (1.32)
Выразим из условия (1.30) коэффициент c
c=a- b+ d, (1.33)
подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d
d= (-21a+b). (1.34)
Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим
b= a.
Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:
b=a,
c=-a, (1.35)
d=- a,
a1
=, b1
=1, a2
=0, c1
=0, b2
=0, c2
=3b1
=3.
Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):
a2
=12a, b2
= -a,
g2
=a, b3
= a2
,
g3
= - a2
,d= a3
, (1.36)
m= -n, p= - an.
Теорема 1.3
Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).
2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости
Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:
 (2.1)
Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:
x3
+12ax2
-axy+ay2
+a2
x-a2
y+a3
=0, (2.2)
-nx+ny-an=0. (2.3)
Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:
8192y4
-11776ay3
+5480a2
y2
-825a3
y=0. (2.4)
Из (2.4) получаем, что
y0
=0, y1
= a, y2
= a, y3
= a. (2.5)
Абсциссы точек покоя имеют вид:
x0
=0, x1
= - a, x2
= - a, x3
= - a. (2.6)
Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия -  ,  ,  ,  .
Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия  ,  ,  ,  .
1.
Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]
Отсюда 
 (2.7)
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:
 = =0.
 ,
Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут
 .
Корни  - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка - седло.
2.
Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно
равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:
 ,
 ,
то есть
 ,  .
Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка - устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.
3.
Исследуем точку .
Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:
 ,  .
Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .
4.
Исследуем точку .
Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:
 ,
Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут
 ,
Корни - действительные и одного знака.Следовательно точка - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.
Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:
 , (2.8)
которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.
Имеем
Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:
 (2.9)
Введем новое время  . Система (2.9) примет вид:
 (2.10)
Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.
Получаем
 (2.11)
Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем
Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1
(0,0) N2
(0, ).
Исследуем характер точек N1
, N2
.
1.
Исследуем точку N1
(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1
:
 (2.12)
Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:
Получим, что
 
Корни  - действительные и одного знака. Следовательно, точка N1
(0,0) - устойчивый узел.
2.
Исследуем точку N2
(0,).
Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2
:
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни  - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2
(0,)-седло.
Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]
Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:
 (2.14)
Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:
 (2.15)
При z=0, получаем:
 (2.16)
Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем
Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3
(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3
:
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N3
(0,0) – устойчивый узел.
Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1.
| a |
О |
А |
В |
С |
∞ |
| N1 |
N2 |
N3 |
| (-∞;0) |
с |
У+ |
с |
У- |
У+ |
с |
У+ |
| (0;+∞) |
с |
У- |
с |
У+ |
У+ |
с |
У+ |
Примечание: через с, у+
, у-
обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.
Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).
а
)
(a>0)
б)
(a<0)
Рис.1
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.
Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.
Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.
Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3
, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1
, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N1
, w - сепаратрисы – к точке С и N3
.
В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.
Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.
1 Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.
2 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.
3 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.
4 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.
5 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.
6 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.
7 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.
8 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.
9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256
10 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения  , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.
11 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Поведение траекторий системы (2.1)
а) (а>0)
б) (а<0)
Рис. 2
|
