Статья: К решению теоремы Ферма

Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.

В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yⁿ + xⁿ = zⁿ (1)

на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n , которые могут содержатьрешения уравнения (1) в целых числах x , y , z , а второе подмножество содержит только нецелые решения.

Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :

(x - a)ⁿ + xⁿ –(x+b)ⁿ = 0 (2)

Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x , a , и n .

Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,zдля удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 45⁰ сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости(x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.

Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:

(x–a)ⁿ + xⁿ = 2xⁿ - nx^n-1 a + c_n ² x^n-2 a² - c_n ³ x^n-3 a³ ...... + aⁿ

(x+b)ⁿ = xⁿ +nx^n-1 b + c_n ² x^n-2 b² + c_n ³ x^n-3 b³ .......+bⁿ

D = xⁿ - nx^n-1 (a+b) + c_n ² x^n-2 (a² -b² ) - c_n ³ x^n-3 (a³ +b³ )..+(aⁿ + bⁿ ) =0

(3)

Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x , y =( x – a ), z =( x + b ), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a = b =1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:

xⁿ - 2nx^n-1 a - 2c_n ³ x^n-3 a³ - 2c_n ⁵ x^n-5 a⁵ - ... (aⁿ + aⁿ )=0 (4)

ОбозначимчерезP(a,n) = 2c_n ³ x^n-3 a³ + 2c_n ⁵ x^n-5 a⁵ +... ( aⁿ + aⁿ ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:

xⁿ - 2nx^n-1 a - P(a,n) = 0

Разделив все члены уравнения на x^{n -1} , получим выражение для искомого x

x=2 na + P ( a,n )/ x^{n -1} , гдеP(a,n)/x^n-1 ³ 0 (5)

При a = b = 1 выражение (5) примет вид:

x=2n+P( 1 ,n)/x^n-1 (6)

Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P (1 , n )/ x^{n -1} .

Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножествуyⁿ + xⁿ = zⁿ

Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.

На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:

1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P ( a , n )/ x^{n -1} .

2. Если уравнение yⁿ + xⁿ = zⁿ с учетом добавки P ( a , n ) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1, n )/х^{n -1} ; у=2n-1+ P(1, n )/х^{n -1} ; z=2n+1+ P(1, n )/х^{n -1} , что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1, n )/х^{n -1} .

Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде

P(1,n)/ х ^n-1 = 2c_n ³ /x² + 2c_n ⁵ /x⁴ +2c_n ⁷ /x⁶ ... ( 1 + 1 ) / x^{n -1}

В числителе каждого члена разложения представлены сочетанияc_n ^k , распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра ( n+1)/2 . В знаменателе функция x ² , возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.

Первый член разложения, из-за малости x ² имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателяx^{n -1} (для n=3 – 2/6² ; для n=15– порядка 2/30¹⁴ ; для n=25– 2/50²⁴ и т.п.)

Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.

3. Известно, что уравнение второй степениy ² + x ² = z ² решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x , y , z . Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x , y , z , в которых для уравнения ( x -2 a )³ +( x - a )³ + x ³ =( x + b )³ , существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 3³ +4³ +5³ =6³ .

Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.

4. Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.

Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b

сosC= (a² + b² -c² )/2ab. Подставим вместо сторон а, b и с их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:

а → x; b → y=x-1; c → z=x+1 , гдеx=2n+P(1 ,n )/x^n-1

После выполнения операций преобразования получим:

cosC_n = 0,5-1,5/ x_n -1 (7)

По полученной формуле проведены расчеты

Из которых следует :

- искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90^о при n=2 до 60^о при n→ ∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.

- В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.

- Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y ² + x ² = z ²

5. Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.

6. В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2 число z является нецелым.

Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z ₀ ² = x ² + y ² –2 xycosc . Требуется доказать, что Z ₀ является нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а cosc определен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2 xycosc , что в свою очередь делает нецелым Z ₀ ² и извлеченный из него квадратный корень Z _0.

В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z ₀ ² = x ² + y ² –2 xycosc всегда меньше соответствующего Z _п ² = x ² + y ² прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z ₀ ² находится внутри числового отрезкаZ _п ² =x ² + y ² .

Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z ₀ ² будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.

Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.

Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:

1 4 9 16 25 36 4964 81 100 121 144 169 196 и т.д.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 и т.д.

Между числами первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z¹ не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z¹ /Dx²

Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z₀ ² всегда меньше z_п ² или соответствующего Dx² в ряду квадратов, необходимо вставить числовой отрезок z₀ ² в числовой отрезок Dx² и убедиться, что извлеченный корень из числа z₀ ² является нецелым числом.

Рассмотрим доказательство на примере для n=5.

Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cosC=0,337 (см. Формулы 6 и 7).

z₀ ² =10² +9² -2*10*9*0,337=120,34.

В ряду квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.

Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 – нецелое число.

Проверка: 10⁵ +9⁵ =159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z₀ ² может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cosC по трем известным сторонам треугольника.

Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней n . Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в соответсвии с формулой (6).

Четвертый метод основан на том, что аналогичные степенные ряды могут быть построены для любых n . Тогда для произвольно выбранной степени n=k представляется возможным непосредственно убедиться в том , что извлеченный корень степени k из числаz^k =x^k +y^k является нецелым числом.

P . S . Встает вопрос: при каких условиях нецелое число 10,97... , возведенное в степень n=5 , превратится в целое число 159049 ? Напрашивается ответ: число 10.97... должно быть иррациональным т.е иметь после запятой неограниченное количество значащих цифр.

Остановимся на обосновании принятых в статье допущений (ограничений).

Принятие a =1 обусловлено получением максимальных , (*) при которых для всех a <1 нет решений уравнений Ферма в целых числах, а zⁿ наиболее близок к 2 xⁿ .

Принятие b =1 обусловлено тем, что 1 является единственным для всех n целым числом. Это подтверждается следующими соображениями. Из уравнения (*) имеем: , откуда b £ x ( ⁿ Ö 2-1) . Подставляя вместо х его близкое целое значение 2 n , получим формулуb £ 2 n ( ⁿ Ö 2-1) для практических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи начала координат ( на удалении х для каждой степени n) b изменяется от 1,65 при n=2 до 0 при возрастании n до ¥. Отсюда вывод: в растворе 45⁰ сектора всюду b является нецелым числом, исключающим получение целых x,y,z при решении уравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которую следует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и было проделано выше с отрицательным результатом.

Расчеты при a=b=2,3,4…. относятся к точкам на значительном удалении от начала координат, кратным коэффициентам a=2,3,4….

Результаты расчетов при этом аналогичны выполненным при а=b=1, за исключением случаев, когда х определяется целым числом с конечным числом значащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать такой коэффициент пропорциональности а умножение на который нецелых чисел х,у,z сделает их целыми числами, для которых будет справедливо ( x * a ) ⁿ +( y * a ) ⁿ =( z * a ) ⁿ .

В этом случае теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>2. В принципе теорема Ферма может считаться достоверной, если добавка P ( a , n )/ x^{n -1} является иррациональным числом. Тогда невозможно использовать коэффициент пропорциональности a .

В иррациональности добавкиP (1, n )/ x^{n -1} можно убедиться, если проводить многократное уточнение величины х методом последовательных приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на нецелые, многократно уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное число.

Наконец, анализируя расположение секторов на плоскости (x,y) и , учитывая, что нечетные функции xⁿ и yⁿ могут принимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующую схему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. в области распостранения условий теоремы Ферма:

- вся плоскость (x,y) - для четных показателей степени n

- квадрант I - для положительных x и y

- квадрант III- для отрицательных x и y

- в квадрантах II и IVдля нечетных n будут иметь место разности типа xⁿ - yⁿ или yⁿ - xⁿ , рассмотрение которых теоремой Ферма не предусмотрено.

ВЫВОДЫ

1. Разработан метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определены основное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведения анализа и расчетов.

2. Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции yⁿ + xⁿ = zⁿ . При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются в целых числах.

3. Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV квадрантов при нечетных n.

Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ иВС,

Москва 2001 – 2004 год

Т. 396 –90-24

e –meil:hrendy@rumbler.ru