Контрольная работа: Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ

Вариант №2

Брянск - 2009

ЗАДАЧА 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим виды кормов через х ₁ и х ₂ . Целевой функцией задачи является общая стоимость кормов, затраченных на кормление животных, которая должна быть наименьшей. Число ограничений задачи равно числу питательных веществ, входящих в состав кормов - 2. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены кормов, содержание питательных веществ в них можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:

Строим область допустимых решений задачи (см. рис.1 ).

Область допустимых решений задачи

Строим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям 0,2 (1; 1,5), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами (0; 0). Перпендикулярно вектору-градиенту строится прямая, которая характеризует поведение целевой функции:

Для определения положения точки минимума целевой функции прямая, перпендикулярная вектору-градиенту, смещается в его направлении до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой минимума.

В нашей задаче - это точка В , образованная пересечением граничных прямых ограничений I и II . Ее координаты определяются решением системы

уравнений этих прямых:

откуда x ₁ *=2;x ₂ *=2 и .

Таким образом, чтобы достичь минимальных затрат, следует расходовать ежедневно на одного животного по 2 кг каждого вида корма при затратах в 1 тыс. руб.

Решение данной задачи линейного программирования на максимум лишено экономического смысла, так как затраты на корм стремятся уменьшить. Однако математически эта задача имеет решение и на максимум: наибольшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно

.

рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования

ЗАДАЧА 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования.

Обозначим количество выпускаемых изделий х₁ , х₂ , х₃ , х₄ .

Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий - 3.

Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных.

Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения » табличного процессора EXCEL (меню «Сервис »):

р ис. 2 - Надстройка «Поиск решения»

Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х *=(95; 210; 0; 0). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f (X *)=2115 (прил. 1 ).

Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x ₁ *=95 изделий А , x ₂ *=210 изделий Б и не производить изделия В (x ₃ *=0) и Г (х₄ *=0).

2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I , II , III как y ₁ , y ₂ , y ₃ соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи - 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости » (прил. 2 ) приводятся теневые цены ресурсов: y ₁ *=0; y ₂ *=1,5;y ₃ *=2,25.

Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи

совпадает с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f (X *). Следовательно, оптимальный план двойственной задачи определен верно.

3. Выпуск изделий В и Г невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что затраты по ним превышают цену на 0,5 и 5 соответственно:

Таким образом, выпуск изделий В и Г убыточен и поэтому эти изделия не вошли в оптимальный план (x ₃ *=0) и (х₄ *=0).

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х *=(95; 210; 0; 0) и проверим выполнение неравенств:

Видно, что ресурсы II и III используются в оптимальном плане полностью и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Они имеют отличные от нуля оценки y ₂ * =1,5 и y ₃ * =2,25.

Увеличение объема ресурса II на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 1,5 руб., а увеличение объема ресурса III на единицу - на 2,25 руб.

Ресурс I имеет нулевую двойственную оценку (y ₁ *=0) и является недефицитными, т. е. избыточным в оптимальном плане. Увеличение объемов этого ресурса не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.

Определим, насколько изменится выручка выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости » видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение »и«Допустимое уменьшение » правых частей ограничений в прил. 2 ), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:

При этом «новая» наибольшая выручка составит:

руб.

Изменение запасов ресурсов привело не только к изменению значения целевой функции на 540 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась: изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на сырье не изменялись. Новый план выпуска составляет 75 единиц изделий А и 330 ед. изделий Б .

Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:

Следовательно, продукцию Д выпускать выгодно, так как затраты на нее меньше, чем ее стоимость.

ЗАДАЧА 3

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y ( t ) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y ( t ) этого показателя приведен ниже в таблице:

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.

4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение. 1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика

,

где - стандартное отклонение уровней ряда.

Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: S_y =7,29 млн. руб. Расчет значений _t для всех уровней ряда, начиная со второго. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости a=0,05 и длины временного ряда n =9 составляет l=1,5. Видно, что ни одно из значений l_t не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.

2. Линейную трендовую модель строим с помощью надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия »:

Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты »):

.

Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на 2,58 млн. руб.

Коэффициент детерминации уравнения R ² »0,941 превышает критическое значение для a=0,05 и n =9, что свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значениеR ² показывает, что изменение спроса во времени на 94,1 % описывается линейной моделью.

3. Построение адаптивной модели Брауна. Модель Брауна строится в несколько этапов.

1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а ₀ и а ₁ линейной модели

.

Получаем начальные значения параметров модели Брауна и , которые соответствуют моменту времени t =0 (определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК » и «НАКЛОН » соответственно.

2) Находим прогноз на первый шаг (t =1):

.

3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:

.

4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания =0,4 по формулам:

;

,

где - коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям; - параметр сглаживания (=); - отклонение (остаточная компонента).

По условию =0,4, следовательно значение b равно:

.

Получим:

;

,

5) По модели со скорректированными параметрами a _{0( t )} и a _{1( t )} находим прогноз на следующий момент времени:

.

Для t =2:

.

6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.

7) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:

8) Корректировка параметров модели для =0,7 и =0,3:

;

9) Средняя относительная ошибка для данного параметра:

Таким образом, судя по средней относительной ошибке при =0,4 и =0,7, в первом случае =4,1%, а во втором случае =5,0%. Следовательно, =0,4 – лучшее значение параметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше.

4. Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели значения спроса , остатки и их график были получены вEXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА » в прил. 4 ).

Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p =4.

Критическое число поворотных точек для a=0,05 и n =9 определяется по формуле

Так как , остатки признаются случайными.

Проверим независимость остатков с помощью критерияДарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции).Для расчетаd ‑статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

d ‑статистика имеет значение (см. прил. 4 ):

;

;

Критические значения d ‑статистики для a=0,05 и n =9 составляют: d ₁ =0,82; d ₂ =1,32. Так как выполняется условие

,

то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 4 ):

.

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

Критическое значение коэффициента автокорреляции для a=0,05 и n =9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю: (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ »; см. прил. 4 ). Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R /S -критерия, определяемого по формуле

,

где e _max ; e _min - наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС » и «МИН »); - стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН »; см. прил. 4 ).

Критические границы R / S -критерия для a=0,05 и n =9 имеют значения: (R /S )₁ =2,7 и (R /S )₂ =3,7. Так как R /S -критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна.

Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.

Оценим адекватность построенной модели Брауна: с параметром сглаживания (см. таблица 2 ):

Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна

Проверяемое свойство	Используемые статистики		Граница		Вывод
	наименование	значение	нижняя	верхняя
Независимость	d –критерий Дарбина-Уотсона r (1) -коэффициент автокорреляции	d =2,79 -0,44	0,82	1,32 0,666	Нельзя сделать вывод по этому критерию r (1) <0,666 адекватна
Случайность	Критерий пиков (поворотных точек)	6>2	2		адекватна
Нормальность	RS-критерий	R/S=	2,7	3,7	неадекватна
Мат.ожидание≈0	t-статистика Стьюдента		2,306	адекватна
Вывод: модель статистически неадекватна

5. Оценим точность линейной модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:

%

Значение E _отн показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на 2,57 %. Модель имеет хорошую точность.

Оценим точность модели Брауна с параметром сглаживания :

Модель Брауна также имеет хорошую точность, однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.

6. Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед для линейной модели:

Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k =1):

1) Точечный прогноз :

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 64,5 млн. руб.

2) Интервальный прогноз

с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,7. необходимые расчеты приведены в таблице 3 :

млн. руб.,

где t _таб =1,083 - табличное значение t -критерия Стьюдента для доверительной вероятности g=0,7.

С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 62,13 до 66,87 млн. руб.

Таблица 3

t	yt
1	43	16
2	47	9
3	50	4
4	48	1
5	54	0
6	57	1
7	61	4
8	59	9
9	65	16
Среднее	5	-	60

Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k =2):

1) Точечный прогноз:

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно 66,8 млн. руб.

2) Интервальный прогноз с надежностью g=0,7:

млн. руб.,

С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 64,29 до 69,31 млн. руб.

Построим прогноз для модели Брауна на следующие 2 недели. Параметры модели, полученные для последнего уровня временного ряда (т. е. для t =n =9), используются для построения прогноза спроса по формуле:

.

Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k =1):

млн. руб.

С вероятностью 70 % значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 63,213 до 70,361 млн. руб.

Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k =2):

млн. руб.

Значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 65,603 до 73,167 млн. руб.

7. График временного ряда спроса строим с помощью надстройки «Диаграмма » EXCEL. Предварительно выделяется блок ячеек «t » и «y_t » вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма… »:

Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда… » ® «Линейная »), и устанавливаем «Прогноз » вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R ² .