Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта
Соиск. Дзарахохов А.В.
Кафедра математики.
Горский государственный аграрный университет
Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта.
Рассмотрим уравнение
 (1)
в области Ω, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых  соответственно и характеристиками
уравнения (1) в полуплоскости y<0, λ(y) – заданная непрерывная функция.
Пусть  – параболическая,  - гиперболическая области Ω,  - интервал прямой y=0.
ЗАДАЧА 1. Найти в областях Ω1, Ω2 решение
уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям
 , (2)
 , (3)
где  - непрерывные, а  - дважды непрерывно дифференцируемая функции, причем
 . (4)
Решение задачи Коши  для уравнения (1), y<0, в области Ω2 имеет вид [1]:
 , (5)
где  .
Удовлетворяя (5) заданному условию (3), получим
 . (6)
В равенстве (6) сделаем замену
 .
В результате получим
 .
Заменяя в последнем равенстве x через  , получаем:
 . (7)
Из равенства (7) находим
 , (8)
где  .
Обращая (8) как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно  , получаем [2]:
 . (9)
Или с учетом перестановки Дирихле порядка интегрирования во втором интеграле правой части (9), получаем:
 . (10)
Рассмотрим
 .
Произведя замену переменных  в последнем равенстве, получим
 . На основании равенства [3]
будем иметь
 . (11)
Подставляя (11) в (10), окончательно получаем функциональное соотношение между  и , привнесенное из гиперболической части области Ω на линию y = 0:
 . (12)
При m = 0 оно принимает вид:
 . (13)
Устремляя  из Ω1, получаем функциональное соотношение между и , привносимое на линию y = 0 в виде:
 . (14)
В начале рассмотрим случай, когда m = 0. Исключая из уравнения (13) и (14) и, учитывая краевые условия (2), приходим к задаче
 , (15)
 . (16)
Решение (15), (16) представим в виде:
 , (17)
где обозначено
 .
Отсюда полагая x=x0, в силу условия (14) однозначно найдем  . Затем подставляя это значение в (17) полностью определяем  .
После определения в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и  . Нетрудно убедиться, что решение  этой задачи удовлетворяет интегральному уравнению
 , (18)
где 
 – функция Грина указанной выше смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Отсюда, полагая в (18) x = x0, для функции  получаем интегральное уравнение
 (19)
с ядром
и правой частью  .
Уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и оно безусловно разрешимо в пространстве  .
ЗАДАЧА 2. Требуется найти функцию  , удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме второго условия из (2) и (4), вместо которых берут условия:
 , (20)
 . (21)
Для решения задачи 2, поступая как выше, с учетом условия (21) функцию однозначно определим решением уравнения (15), удовлетворяющим условиям
 .
Пользуясь функцией Грина  второй краевой задачи для уравнения теплопроводности, убеждаемся, что решение  задачи 2 в области Ω1 удовлетворяет уравнению
 , (22)
где  .
Отсюда полагая в (22) x = x0 и учитывая условие (20), получаем систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно  и  :
 (23)
 ,
 ,
 ,
 .
В силу свойства функции Грина  и ядер системы (23), нетрудно убедиться, что система уравнений (23) допускает единственное решение в пространстве  [4].
Пусть теперь m > 0. Исключая из системы уравнений (12) и (15), получаем интегродифференциальное уравнение относительно  :
 , (24)
удовлетворяющее граничному условию
 (25)
в случае задачи 1 и нелокальному условию
 (26)
в случае задачи 2.
Интегрируя равенство (24) дважды от 0 до x, с учетом граничных условий (25), (26), получаем:
 (27)
Преобразуем двойной интеграл в левой части равенства (27):
 . (28)
Учитывая равенство (28) в (27), получаем:
 (29)
где 
 . (30)
Преобразуем двойные интегралы в равенстве (30). В результате получим
 ,
 .
Учитывая J3 и J4 в равенстве (30), окончательно будем иметь:
Откуда заключаем, что  . Таким образом, относительно получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода:
 , (31)
| 4 Труды молодых ученых № 3, 2007 |
|
где   .
Так как  , то обращая (31) через резольвенту R(x, t), будем иметь
 , (31)
где 
Полагая в равенстве (31) х=х0 и х=1, однозначно определим
 ,
 , если выполнены условия
 .
После определения функции в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и  , которая на основании свойств функции Грина эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В области Ω2 решение задачи 2 задается формулой (5).
Список литературы
Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1959.
Трикоми Ф.О. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: ОГИЗ, 1947.
Мюнтц Г. Интегральные уравнения //Л.-Н.ГТТИ. 1934. Т1.
Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Украинский мат. журнал. Киев, 1995. Т.47, №12.
|
