Асп. Коробова К. В.
Кафедра математического анализа.
Северо-Осетинский государственный университет
Приведены явные формулы для вычисления множеств положительных и отрицательных частей произвольного элемента в пространстве , упорядоченном круглым регулярным конусом. Определено множество элементов, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от элемента до конуса, и исследуется вопрос о совпадении этого множества с множеством положительных частей элемента.
Введение
Теория конусов является актуальным разделом функционального анализа и находит большое применение во многих областях математики. Геометрическим свойствам пространств, упорядоченных конусами различного вида, посвящены работы Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха [1,2], М. А. Красносельского [3], В. Т. Худалова [4,5]. В работе автора [6] дано общее описание регулярного круглого конуса в пространстве и описаны некоторые его свойства. Данная статья посвящена дальнейшему исследованию порядковых свойств пространства .
1. Предварительные сведения
Приведем необходимые для дальнейшего использования определения и результаты.
1.1. Пусть Е – банахово пространство над полем действительных чисел R, Е+ – конус в Е. Конус Е+ называется регулярным, если выполнены следующие условия:
±х ≤ у Þ ||х|| ≤ ||y|| для любых х, у Î Е,
для любого х Î Е и любого e > 0 существует у Î Е+ такой, что ±х ≤ у и ||у|| ≤ (1+e) ||х||.
Регулярный конус Е+ называется строго регулярным, если выполнено условие (2) при e = 0, т. е.
(2') для любого х Î Е существует у Î Е+ такой, что ±х ≤ у и ||y|| = ||х||.
Упорядоченное замкнутым строго регулярным конусом Е+ пространство Е обозначают (Е, Е+) Î (Â), см. [1,2].
1.2. Одним из наиболее общих методов построения конуса в произвольном банаховом пространстве, обладающего свойствами нормальности, несплющенности, а также другими свойствами, является следующий: пусть X – банахово пространство, f Î X* – произвольный непрерывный линейный функционал на X такой, что ||f|| = 1. Для любого aÎ (0,1] определим K(f,α):={xÎX: f(x) ≥ a||х||}.
Если Н – гильбертово пространство над R, то для любого aÎН, ||a|| = 1, конус К(а, a) имеет вид:
K(a, α) = {x Î X : (a, x) ≥ a ||x||}.
Если dim H > 1, то для любого а Î Н, ||a|| = 1, конус К (а, a) строго регулярен в Н тогда и только тогда, когда a =  [5].
1.3. Отметим, что класс регулярных конусов в пространствах и l1 совпадает с классом строго регулярных конусов [5]. Данная работа опирается на следующее описание всех регулярных круглых конусов, полученных в [4].
Теорема. Конус K(f, a) является регулярным , n > l1 только при двух значениях aÎ (0,1]:
при a = 1 каждая координата вектора f = (f1, f2,..., fn) равна +1 или – 1; при этом имеется 2n конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству с естественным конусом положительных элементов;
при a = 0,5 одна из координат (j-я координата) вектора f = (f1, f2,..., fn) равна ±1, а все остальные – нули; при этом имеется 2n конусов, порождающих упорядоченные банаховы пространства, порядково изоморфные и линейно изометричные пространству с конусом
Kj = {х = (x1,x2,...,xn) : xj ≥  }. (1)
1.4. Пусть (Е, Е+) Î (Â). Для любого х Î Е обозначим через |Х| множество элементов у Î Е таких, что ± x ≤ у и ||x|| = ||y||. Любой элемент этого множества называется метрическим модулем элемента x.
Положим
X+ = ½ x + ½|X|, X− = −½ x + ½|X| .
Множества Х+ и Х− называются множествами положительных (соответственно отрицательных) частей элемента x. Если у Î |Х|, т.е. ±x ≤ у и ||у|| = ||x||, то положим x+ = (у + x)/2, x− = (у – x)/2, |x| = x+ + x−. Из определения следует, что |x| ≥ ± x, причем
x = x+ − x−, |x| = x+ + x−, ||x+ - x−|| = ||x+ + x−||, ||x|| = |||x|||.
1.5. Конус Е+ в упорядоченном банаховом пространстве (Е, Е+) Î (Â) называется достижимым, если для любого x Î Е существует элемент Рх Î Е+, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от х до Е+, т. е.
d(x, E+) = inf{||а – x|| : a Î E+} = ||Рx – x||.
Множество всех таких Рх обозначается М(х).
1.6. При вычислении расстояния от точки до конуса воспользуемся следующим результатом из [5].
Пусть (Е, Е+) Î (Â) и х Î Е+. Элемент x+ Î Е+ является ближайшим к х элементом конуса Е+ тогда и только тогда, когда существует f Î Е*+, ||f|| = 1, такой, что f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||. В этом случае d(x, Е+) = ||x-||.
1.7. Пусть E – банахово пространство над R со строго регулярным замкнутым конусом Е+. Элементы x, у Î Е+ называются н-дизъюнктными или ортогональными по Роберу (обозначается x  у), если ||x + λу|| = ||x – λу|| для любого λ ≥ 0.
2. Описание множеств |Х|, Х+, Х-
Рассмотрим пространство , упорядоченное регулярным круглым конусом K(f,a), где a = 0,5 и функционал f имеет первую координату, равную единице, а остальные координаты нулевые:
K1 = {x = (x1, x2, ..., xn) : x1 ≥ |x2| + … + |xn|}.
Все результаты легко перенести на общий случай (1) с помощью изометричного преобразования. В дальнейшем, если не указано иное, будем обозначать через X =  .
Опишем множества |Х|, Х+, Х- для произвольного элемента x = (x1, ..., xn) Î. Заметим, что частный случай разложения элемента х на ортогональные по Роберу положительную и отрицательную части рассмотрен в [6].
2.1. Пусть x1 = 0. Найдем элемент конуса, который мажорирует элементы ± х и равен им по норме, т. е. у = (у1, …, yn) : y1 ≥  , y ≥ ± х, ||y|| = ||x||. Такой элемент описывает следующая система:
Сложив первые два неравенства, получим оценку у1 ≥ X. С другой стороны, из третьего равенства видно, что у1 ≤ X. Тогда у1 = X,  = 0, следовательно yk = 0 для любого  . Получаем следующее представление метрического модуля элемента х и его положительной и отрицательной части
 ,
 ,
 .
2.2. Пусть x1 > 0. В этом случае система, описывающая элемент у Î |Х|, имеет вид:
Аналогичные действия позволяют утверждать, что X≤у1≤X + х1, т.е. у1 представим в виде у1 = X + λх1, где 0 ≤ λ ≤ 1. Последовательно подставляя значение у1 в систему, имеем:  -|yk – xk|) ≥ ≥ х1(l – λ) = , с другой стороны, |уk| = |xk + (yk – xk)| ≥ ≥ |xk| – |yk – xk|. В итоге получаем:
|xk| = |yk| + |yk − xk| ().
Из этого равенства следует, что уk и хk – yk – одного знака, что приводит к следующим выводам:
если (xk − yk) > 0 и yk > 0, то 0 < yk < xk ;
если (xk − yk) < 0 и yk < 0, то xk < yk < 0;
если (хк – yk) = 0 и yk = 0, то хk = уk = 0.
Из чего следует, что каждая координата уk () представима в виде уk = λkхk, 0 ≤ λk ≤ 1.
Отметим равенство, используемое в дальнейшем:
 .
Итак, при x1 > 0 имеем:
где  , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1}.
2.3. Пусть x1 < 0. Система, описывающая элемент у Î |Х|, на этот раз имеет вид:
Выполнив аналогичные пункту 2.2 действия, получим X ≤ у1 ≤ X – х1. В этом случае y1 = Х + λ|x1|, где 0 ≤ λ ≤ 1. Подставляя последовательно значение у1 в систему, получаем
 и  .
Откуда выводим:
|xk| = |yk| + |yk + xk| ().
Отсюда следует, что – yk и (xk + yk) – одного знака. Вновь получаем, что уk = –λkxk , 0≤λk≤1. При этом = = .
Итак, при х1 < 0 имеем:
где  , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1}.
2.4. Общий случай. Для произвольного элемента х = (x1, ..., xn) и круглого регулярного конуса Kj (1) имеем:
где  , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
где , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};
| 2 Труды молодых ученых, 2005 (1) |
|
где  .3. Нахождение расстояния от элемента до конуса
Пусть элемент x принадлежит конусу К1, т.е. х1 ≥ X. В этом случае d(x, K1) = 0, а ближайшим элементом конуса является он сам.
Пусть элемент х принадлежит конусу – К1, т.е. -х1 ≥ X. В этом случае очевидно d(x, K1) = ||х||, а ближайшим элементом конуса является ноль.
Пусть х1 = 0 и элемент х не принадлежит конусу ±К1. Покажем, что d(x, K1) = ||х–||, а ближайшим элементом конуса является х+. Согласно следствию 2.2.13 [5], для этого необходимо найти функционал f Î К*1 такой, что ||f|| = 1, f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||,
где x+ – x- = x, ||x+ + x-|| = ||x||.
В качестве такого функционала выберем f=(1, –sgn x2, ...,–sgn xn). Для любого элемента конуса аÎК1 справедливо f(а)=a1 – , т. е. f положительный функционал. Очевидно, что его норма равна единице. Элементы x+ и x–, вычисляемые по формулам 2.1, удовлетворяют условиям следствия 2.2.14 [5]. Кроме того,
 ,
 .
Учитывая, что ||x–|| =  || (Х, x2, ... , хn)|| = X, имеем, что f(x-) = =||x-||. Таким образом, условия следствия 2.2.14 [5] выполняются полностью, и мы приходим к выводу, что
d(x, K1) = || x-|| =  =X, а x+ является ближайшим к х элементом конуса.
3.4. Пусть X > х1 > 0. Положив λ = 0 в формулах 2.2, получим:
 ) .
В этом случае очевидно, что x+ – x- = x, || x+ + x-|| = ||x||.
Рассматривая функционал из 3.3, находим:
 ,
 .
Заметим, что в этих рассуждениях использован результат, полученный в 2.2, о том, что  .
В итоге получаем, что d(x, K1) = ||x-|| =  , a x+ является ближайшим к x элементом конуса.
3.5. Пусть х1 < 0 и – х1 > X. Если λ = 0 в формулах 2.3, то элементы
 )
удовлетворяют условиям x+ – x- = x и ||x+ + x-|| = ||x||, причем f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||, где f – функционал из 3.3.
Таким образом, в этом случае d(x, K1) = ||x-|| = , a x+ – ближайший к x элемент конуса.
Аналогичные рассуждения показывают, что данные результаты справедливы и для конуса Kj.
3.6. Данные рассуждения подтверждают результат утверждения 2.3 из [6] о том, что
4. Описание множества М(х)
Элемент x принадлежит конусу К1. В этом случае расстояние d(x, K1) = ||x–|| = 0. Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то а Î К1 и ||а – x|| = 0, откуда следует, что а = x и M(x) = {x}.
Элемент х принадлежит конусу –К1. В этом случае x1 ≤ –X и расстояние
d(x, К1) = ||x||. Если a = (a1, ..., аn) Î М(x), то a1  = A и ||a – x|| = ||x||, что равносильно |а1 – x1| +  = –x1 + + . Откуда следует, что а1 = -  ≥  =A.
Получаем, что ≥   ≥ ≥ .
Равенство | xk – аk| + |аk| = |xk| для любого означает, что аk и (xk – аk) – одного знака, т. е. аk = ak xk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого . Выражение для а1 имеет вид: а1 =  .
В итоге получаем, что
 где 0≤ak≤1, }.
4.3. x1 = 0 и элемент х не принадлежит конусу К1. Пусть а = (a1, ..., an) Î М(x). Из определения М(х) следует, что a1 ≥ А и ||а – x|| = = + |a1| = . Из последних равенств получаем: а1 =  –  ≥  или следующую цепочку  ≥  =  + + ≥ . Это равносильно  + + = . В итоге вновь получаем равенство
|xk −ak| + |ak| = |xk| (),
которое равносильно утверждению, что
 где 0≤ak≤1,  }.
4.4. Пусть x1 > 0 и элемент x не принадлежит конусу K1. Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то ||a – x|| = ||x–|| = d(x, К1) = – x1
или 
Так как a Î K1 , то а1 ≥  . Тогда последовательно получаем a1 ≤ |а1 – x1| + x1 = - ≤ ≤ a1 , что равносильно системе
или
Получаем, что (аk – xk) и xk – одного знака, т. е. аk = akxk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого . Подставив в (*), имеем а1 +  = .
Таким образом, выражение для а1 имеет вид: а1 = .
В итоге получаем, что если х1 > 0, то
где 0≤ak≤ 1,  }.
4.5. Пусть x1 < 0 и элемент х не принадлежит конусу –К1, т.е. –x1 < .
Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то ||a-x|| = ||x–|| = d(x, К1) =–x1
или 
или 
Откуда a1= - ≥. В то же время ≥  + ≥ . Из последнего неравенства получаем, что (ak – xk) и (xk) – одного знака для любого k, т. е. аk = ak xk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого . Тогда a1=– = . Получаем, что (4.4) верно и для этого случая.
5. Описание множества M(x)∩K1
Интересен вопрос о взаимоотношении множества положительных частей элемента и множества элементов, на которых достигается расстояние от элемента до конуса.
Пусть элемент x принадлежит конусу К1. В этом случае М(х) = {x}, а Х+ = { (Х + x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)), 0 ≤ λ, λk ≤ 1,  = x1(1 – λ)}. При λk = 1 получим λ = 0 и Х+ = {x}, т.е. М(х) ∩ Х+ = {x} и М(х) Ì Х+.
Пусть элемент x принадлежит конусу –К1. Если аÎ М(x)∩Х+, то, учитывая формулы 4.2 и 2.2, получим:
 ( + x1(1 – λ), x2(1 – λ2), ... , xn(1 – λn)).
Из этого равенства следует, что  ) при λk Î[0,1]. Итак, для любого λk, найдется  такое, что из того, что а Î Х+ следует, что а Î М(х). Обратное не всегда верно. В итоге получаем включение М(x) ∩ Х+ = X+ .
5.3. Пусть x1 = 0 и элемент x не принадлежит конусу. Воспользовавшись формулами 4.3 и 2.1, получим М(х) ∩ Х+ = Х+.
5.4. Пусть x1 > 0 и элемент x не принадлежит конусу. Если элемент принадлежит М(х) ∩ Х+ , то выполняется равенство:
 (+ x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)),
что равносильно системе
Данные равенства выполняются, если λk такие, что λ = 0. В этом случае  , т.е.
М(x)∩Х+= .
5.5. Пусть x1 < 0 и элемент х не принадлежит конусу –К1. Если элемент принадлежит М(х) ∩ Х+ ,то выполняется равенство:
(+ x1(1 - λ), x2(1 - λ2), ..., xn(1 - λn)),
что равносильно системе
Данные равенства выполняются, если ], т. е. М(x) ∩ Х+ = М(х).
Список литературы
Вулих Б. 3. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах. Калинин.: Изд-во КГУ, 1977.
Вулих Б. 3. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах. Калинин.: Изд-во КГУ, 1978.
Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз. 1962.
Вишняков Ю. Г., Худалов В. Т. Описание всех регулярных круглых конусов в . Вестник СОГУ. Естественные науки. 1999. № 1.
Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения. Владикавказ: Иристон, 1999.
Коробова К. В. О геометрии регулярных круглых конусов в пространствах и l1.–Владикавказский мат. журн. 2003. Т. 5, № 3.
|
